在測量學 中,測量精度 (measuring accuracy)[ 1] [ 2] 或精準度 ,是衡量測量結果的真實性與可靠性的指標,通常包含精密度 [ 3] (precision,或譯精確度 )、準確度 (accuracy)、正確度 (trueness)及公差 (tolerance)等含義。
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此條目頁介紹的是衡量測量結果真實性與可靠性的指標。
關於衡量被測量值所處的量值範圍的指標,請見「測量不確定度 」。
關於衡量某一測量值與其真實值之間的偏離程度的指標,請見「測量誤差 」。
上述中,「準確度」被認為是由正確度和精密度組合而成,用于衡量觀測結果與其真值之間的接近程度;「正確度」指測量值的數學期望與真實值之間的接近程度,反映了測量過程中系統誤差 的大小;「精確度」指測量值與其數學期望 之間的離散程度,反映了測量過程中偶然誤差 的大小。因此,準確度反映了偶然誤差和系統誤差的聯合影響[ 4] 。
在中文語境下,「精度 」常被用於指精密度或是精確度,「準度 」則通常指準確度或是正確度的簡稱,「精準度 」則是兩者複合的含糊用語。精度和準度的具體含意應根據語境進行判別,規範性文件則通常會迴避對「精度」的使用以免造成歧義[ 5] [ 6] 。
依照ISO 5725-1給出的定義,準確度由正確度(Trueness)和精密度(Precision)組成,準確度衡量測量結果與參考值直接的接近程度,精確度衡量測量結果之間的接近程度
在1994年國際標準化組織 發佈的關於測量精度概念的規範文件ISO 5725及其所對應的中華人民共和國國家標準 GB/T 6379-2004 《測量方法與結果的準確度(正確度與精密度)》中,對測量精度的描述被分為準確度、正確度和精密度三個概念。該規範性文件的第一部分給出了對這三個概念的定義:
準確度(英語:accuracy ):測試結果與接受參照值間的一致程度
正確度(英語:trueness ):由大量測試結果得到的平均數與接受參照值間的一致程度
精確度(英語:precision ):在規定條件下,獨立測試結果間的一致程度
與之相關的還有偏倚、重複性、再現性的概念:
偏倚(英語:bias ):測試結果的期望與接受參照值之差
重複性(英語:repeatability ):在重複性條件下的精密度
再現性(英語:reproducibility ):在再現性條件下的精密度
另外,對於準確度,ISO 5725註明「當用於一組測試結果時,由隨機誤差分量和系統誤差即偏倚分量組成」;對於重複性的註明是「正確度的度量通常用術語偏倚表示」以及「準確度曾被稱為『平均數的準確度』,這種用法不被推薦」;對於精密度的註明則是「精密度僅僅依賴於隨機誤差的分佈而與真值或規定值無關」「 精密度的度量通常以不精密度表達,其量值用測試結果的標準差來表示,精密度越低,標準差越大」。[ 7] [ 8]
除GB/T 6379-2004以外,中華人民共和國國家計量技術規範JJF 1001-2001 《通用計量術語及定義》中亦以相近的描述定義準確度、正確度和精密度。[ 9]
中國大陸使用的測繪學 領域規範性文件GB/T 14911-2008 《測繪基本術語》中僅定義了「準確度」與「精密度」:[ 10]
準確度(英語:accuracy ):在一定測量條件下,對某一次的多次測量中,測量值的估值與其真值的偏離程度
精密度(英語:precision ):在一定測量條件下,對某一次的多次測量中,各測量值間的離散程度
可見,測繪學中的「精密度」與ISO 5725及GB/T 6379-2004的概念相近,但前者的「準確度」則更接近於後者「正確度」的概念。而對於後者的「準確度」,測繪學有使用「精確度」一詞來代稱的情況。[ 4] 另外,測繪學中的「精度指標」通常是指平均誤差、中誤差、極限誤差與相對誤差等衡量精密度的指標。[ 11] [ 12] 在不存在系統誤差時,測繪學中的「精確度」即可由「精度(精密度)」代稱;而存在系統誤差時,測繪學中的「精確度」則應由「精度(精密度)」和「準確度(正確度)」共同衡量。[ 5]
高準確度,高精密度
高準確度,低精密度
低準確度,高精密度
低準確度,低精密度
偶然誤差是指在大小和符號上表現出偶然性,但總體上符合一定統計規律的誤差,其數學期望為零。精密度即是對偶然誤差統計的描述。
根據
E
[
Δ
]
=
0
{\displaystyle \operatorname {E} [\Delta ]=0}
的特性,可以得出偶然誤差的中誤差 [ 註 1] 為:
σ
=
E
[
Δ
2
]
−
E
[
Δ
]
2
=
E
[
Δ
2
]
{\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {E} [\Delta ^{2}]-\operatorname {E} [\Delta ]^{2}}}={\sqrt {\operatorname {E} [\Delta ^{2}]}}}
其估計值由下列公式計算
σ
^
=
∑
i
=
1
n
Δ
2
n
{\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}\Delta ^{2}}{n}}}}
通過方差是中誤差的平方的關係,亦可得到偶然誤差的方差及其估計值。
對於正態分佈,誤差分佈於與平均值距離一倍及二倍、三倍中誤差之間的概率分別為
{
Pr
(
−
σ
<
Δ
<
+
σ
)
=
68.3
%
Pr
(
−
2
σ
<
Δ
<
+
2
σ
)
=
95.5
%
Pr
(
−
3
σ
<
Δ
<
+
3
σ
)
=
99.7
%
{\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Pr} (-\sigma <\Delta <+\sigma )=68.3\%\\\operatorname {Pr} (-2\sigma <\Delta <+2\sigma )=95.5\%\\\operatorname {Pr} (-3\sigma <\Delta <+3\sigma )=99.7\%\end{cases}}}
在遠離平均值時,誤差出現的概率相當接近於零,可以在假設檢驗 中將其排除,而選定的排除「該誤差是偶然誤差」這一假設的極限值即為極限誤差。在測量學中,常以二倍或三倍中誤差作為極限誤差。
平均誤差即平均絕對誤差 ,對於一定觀測條件下的某組獨立的偶然誤差來說,是其絕對值的數學期望:[ 4] [ 13] [ 14]
θ
=
E
[
|
Δ
|
]
{\displaystyle \theta =\operatorname {E} [\left\vert \Delta \right\vert ]}
相應的估計值為
θ
^
=
1
n
∑
i
=
1
n
|
Δ
|
{\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\vert \Delta \right\vert }
根據正態分佈的概率分佈函數,可以得出平均誤差
θ
{\displaystyle \theta }
與中誤差
σ
{\displaystyle \sigma }
之間的數學關係:
θ
=
∫
−
∞
+
∞
|
Δ
|
f
(
Δ
)
d
Δ
=
∫
0
+
∞
2
Δ
f
(
Δ
)
d
Δ
=
2
π
σ
{\displaystyle \theta =\int _{-\infty }^{+\infty }\left\vert \Delta \right\vert f(\Delta )\operatorname {d} \!\Delta =\int _{0}^{+\infty }2\Delta f(\Delta )\operatorname {d} \!\Delta ={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sigma }
即有
θ
≈
0.7979
σ
{\displaystyle \theta \approx 0.7979\sigma }
觀測量
X
{\displaystyle X}
的均方誤差
MSE
[
X
]
{\displaystyle \operatorname {MSE} [X]}
通過下列公式計算:[ 4] [ 14]
MSE
[
X
]
=
E
[
(
X
−
X
~
)
2
]
{\displaystyle \operatorname {MSE} [X]=\operatorname {E} [(X-{\tilde {X}})^{2}]}
將其進行分解,可以得出以方差和系統誤差的平方和表示的均方誤差:
MSE
[
X
]
=
E
[
(
X
−
X
~
)
2
]
=
E
[
[
(
X
−
E
[
X
]
)
+
(
E
[
X
]
−
X
~
)
]
2
]
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
+
2
(
X
−
E
[
X
]
)
(
E
[
X
]
−
X
~
)
+
(
E
[
X
]
−
X
~
)
2
]
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
+
2
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
(
E
[
X
]
−
X
~
)
]
+
E
[
(
E
[
X
]
−
X
~
)
2
]
=
σ
X
2
+
2
(
E
[
X
]
−
E
[
X
]
)
(
E
[
X
]
−
X
~
)
+
ε
2
=
σ
X
2
+
ε
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {MSE} [X]&=\operatorname {E} [(X-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [[(X-\operatorname {E} [X])+(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})]^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}+2(X-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})+(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]+2\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})]+\operatorname {E} [(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})^{2}]\\[4pt]&=\sigma _{X}^{2}+2(\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X])(\operatorname {E} [X]-{\tilde {X}})+\varepsilon ^{2}\\[4pt]&=\sigma _{X}^{2}+\varepsilon ^{2}\\[4pt]\end{aligned}}}
因此,均方誤差被認為同時包含了對偶然誤差和系統誤差的定量描述,可以衡量測量學中的「精確度」。
存档副本 . [2022-11-15 ] . (原始內容存檔 於2022-11-15).
存档副本 . [2022-11-15 ] . (原始內容存檔 於2022-11-15).
ISO, ISO. "5725-1: 1994, Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results-Part 1: General principles and definitions." International Organization for Standardization, Geneva (1994).
GB/T 63792.1-2004.測量方法與結果的準確度 (正確度與精密度) 第 1 部分:總則與定義.
GB/T 12897-2006.國家一、二等水準測量規範.