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具有歐幾里德函數的交換環使得歐幾里德分割成為可能 来自维基百科,自由的百科全书
一個歐幾里得整環是一整環 及函數 ,使之滿足下述性質:
函數 可設想成元素大小的量度,當 時可取 。
歐幾理得整環的例子包括了:
利用輾轉相除法(定義中的第一條性質),可以證明歐幾里得環必為主理想環,此時理想由其中 -值最小的元素生成。由此得到一個推論:歐幾里得整環必為唯一分解環。
並非所有主理想環都是歐幾里得整環,Motzkin 證明了 的整數環在 時並非歐幾里得整環,卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。
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