朗道量子化是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值,形成朗道能階。朗道能階是簡併的,每一能階上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比[1]:267。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪[1]。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的[2]。
朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出[1]:255-258。這裏採用量子力學的方法進行推導:
考慮一個帶電粒子組成的二維系统。這些粒子無內部相互作用,所帶電荷為q,自旋量子數為S,並被限制在x-y平面內一個面積A = LxLy的區域內。
對這一系統施加一個沿z軸的均勻磁場。由於自旋對於這個二維系統沒有影響[3],因而在下面的推導中將忽略自旋。在CGS單位制下,這個系統的哈密頓算符為:
式中為正則動量算符,為磁場的磁向量勢,與磁感應強度的關係為:
給定磁場的磁向量勢具有一定的規範自由度。當被添加一個純量場的梯度時,波函數的整體相位也會隨着純量場產生一定的變化,但由於哈密頓算符具有規範不變性,系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算,這裏選擇朗道規範:
式中B=|B|,x為位置算符x方向上的分量。
在這一規範下,系統的哈密頓算符為:
算符與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時,算符被忽略掉了,因而算符可被它的本徵值ħky替代。
如果設定迴旋頻率ωc = qB/m,那麼可以得出此時哈密頓算符為:
這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致,但位能的最小值需要在位置表象中移動x0 = ħky/mωc。
注意到諧振子位能的平移並不會影響到系統的能量,也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致:
由於能量與量子數ky無關,因而會存在一定的簡併態。
由於與哈密頓算符是對易的,因而系統的波函數可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢的乘積,但也需要在x方向上移動x0,即:
總之,電子的狀態可以通過n與ky這兩個量子數表徵。
朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能階間差值,即kT ≪ ħωc時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低,外磁場較強。
每個朗道能階都具有一定的簡併度,因為量子數ky的取值情況為:
- ,
式中N為整數。N所允許的取值受到振子的運動中心坐標x0的影響。振子的運動必須在系統範圍內,也就是說0 ≤ x0 < Lx。這給出了N的取值範圍:
對於帶電量q = Ze的粒子來說,N的上限可以表記為磁通量的比值:
式中 Φ0 = h/e為磁通量的基本量子,Φ = BA是系統的磁通量,面積A = LxLy。
因而對於自旋為S的粒子,每個朗道能階的簡併度的最大值D為:
上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果,嚴格來說,諧振子解只對在x方向上不受限的系統有效,如果系統尺度Lx是有限的,那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上,兩個都是埃爾米特方程式的解。多電子對於朗道能階的填充仍是研究熱點之一[4]。
一般來說,朗道能階可以在電子系統中被觀察到,其中Z=1,S=1/2。隨着磁場增強,越來越多的電子會佔據朗道能階。最高的朗道能階的佔據情況會導致多種電子性質振盪,如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。
如果考慮到塞曼效應的話,那麼每個朗道能階都會分裂為一對能階:一個為自旋向上的電子佔據的能階,一個是自旋向下的電子佔據的能階。此時每個自旋朗道能階的簡併度就會是磁通量的比率:D = Φ/Φ0。兩個能階與分裂前的能階間隔是相同的: 2μBB = ħω 。然而在多個能階被佔滿時,系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的,因為塞曼效應造成的影響,在這些能階相加時會被抵消掉。
在上面的推導過程中,x與y似乎並不對稱。然而,考慮到系統的對稱性,並沒有物理量能表徵這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後,可以得到相同的結果。
此外,上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在,如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動,那麼波函數還需要乘以一個因子exp(ikzz),能量對應地需要加上(ħ kz)2/(2m)。這一項會「填入」能階間隙,從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。
選定對稱規範:
對於哈密頓算符進行去因次化:
實際值可以通過引入、、、及等常數得出。
引入算符
這些算符的對易關係為:
- .
哈密頓算符可記為:
朗道能階序數是的本徵值。
角動量z方向上的分量為:
利用其與哈密頓算符可對易,即,我們選定的本徵值為使與 對角化的本徵函數。易見,在第個朗道能階上存在。然而的值可能非常大。在下面將推導系統表現出的有限簡併度。
使用可以使減小一個單位同時使保持不變,而則可以使增大一個單位,同時令減小一個單位。類比量子諧振子,可以得到:
在朗道規範與對稱規範下,每個朗道能階上的簡併軌道分別以量子數ky及表徵,每個朗道能階上單位面積的簡併度是相同的。
可以證明選定下面這個波函數時,也可以得到上面得到的結果:
式中。
特別地,對於最低的朗道能階,即時,波函數為任意一個解析函數與高斯函數的乘積:。
Л·Д·朗道; Е·М·栗弗席茲; 嚴肅(譯); 喀興林(校). 《理论物理学教程第三卷·量子力学(非相对论理论)》. 北京: 高等教育出版社. : 416–420. ISBN 978-7-04-024306-2 (中文(中國大陸)).
Mikhailov, S. A. A new approach to the ground state of quantum Hall systems. Basic principles. Physica B: Condensed Matter. 2001, 299: 6. doi:10.1016/S0921-4526(00)00769-9 (英語).