戴爾指數

戴爾指數（英語：Theil Index）又稱為泰爾指數^[1]，是一個衡量經濟不平等^[2]的統計量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離^[3][4][5]。

戴爾指數主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴爾指數等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是廣義熵指數（英語：generalized entropy index）的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。^[5]

戴爾指數最早由荷蘭鹿特丹伊拉斯姆斯大學的計量經濟學家亨利·戴爾（英語：Henri Theil）（Henri Theil）所提出。^[5]

數學公式

假設一個人口為N的群體，其收入分別為x_i (i = 1,...,N)，則它的戴爾指數T定義為^[6]：

${\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)}$

而戴爾指數L則定義為

${\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)}$

其中${\displaystyle x_{i}}$為第${\displaystyle i}$個人的收入，${\displaystyle {\mu }}$為平均收入，${\displaystyle N}$為人口數量。加總符號中的第一項可以理解為個人在總收入中所佔的比例，第二項為該個人相對於均值的收入。

如果收入分佈是個離散分佈函數 f_k (k = 0,...,W)，其中f_k是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{W}f_{k}=1}$ 。 它的戴爾指數T定義為：

${\displaystyle T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)}$

這裏的${\displaystyle \mu }$一樣是收入平均

${\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}}$

其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分佈是個連續分佈函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為：

${\displaystyle T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk}$

其中平均${\displaystyle \mu }$為：

${\displaystyle \mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk}$

一些常見連續概率分佈的戴爾指數如下表所示：

收入分佈函數	PDF(x) (x ≥ 0)	戴爾指數（納特）
狄拉克δ函數	${\displaystyle \delta (x-x_{0}),\,x_{0}>0}$	0
連續型均勻分佈	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln \left({\frac {2a}{(a+b){\sqrt {e}}}}\right)+{\frac {b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}\ln(b/a)}$
指數分佈	${\displaystyle \lambda e^{-x\lambda },\,\,x>0}$	${\displaystyle 1-}$ ${\displaystyle \gamma }$
對數正態分佈	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{(-(\ln(x)-\mu )^{2})/\sigma ^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$
帕累托分佈	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq k\\0&x<k\end{cases}}}$	${\displaystyle \ln(1\!-\!1/\alpha )+{\frac {1}{\alpha -1}}}$    (α>1)
卡方分佈	${\displaystyle {\frac {2^{-k/2}e^{-x/2}x^{k/2-1}}{\Gamma (k/2)}}}$	${\displaystyle \ln(2/k)+}$ ${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1\!+\!k/2)}$
伽瑪分佈	${\displaystyle {\frac {e^{-x/\theta }x^{k-1}\theta ^{-k}}{\Gamma (k)}}}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1+k)-\ln(k)}$
韋伯分佈	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ ${\displaystyle \psi ^{(0)}}$${\displaystyle (1+1/k)-\ln \left(\Gamma (1+1/k)\right)}$

如果每一個人都有相同的收入，即等於均值，則指數為零。如果某個個人擁有所有的收入，則指數為${\displaystyle \ln {N}}$。T_T 除以${\displaystyle \ln N}$ 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反獨立公理（英語：Economic inequality metrics）: ${\displaystyle T[x\cup x]\neq T[x]}$並不符合衡量不平等的標準。

信息論推導

戴爾指數導自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為：

${\displaystyle S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {\frac {1}{p_{i}}}\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {p_{i}}\right)}$

其中 ${\displaystyle p_{i}}$是從人群裏找到${\displaystyle i}$的概率。${\displaystyle k}$是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時，${\displaystyle k=1}$並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當${\displaystyle p_{i}}$替換成人均收入${\displaystyle x_{i}}$時，需要除以總收入達到歸一化${\displaystyle N{\overline {x}}}$。那可以導出，觀察到的信息熵為：

${\displaystyle S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\overline {x}}}}\ln {\frac {N{\overline {x}}}{x_{i}}}\right)}$

設${\displaystyle T}$為戴爾指數，${\displaystyle S}$為夏農熵，則有

${\displaystyle T=\ln(N)-S}$

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根據事件發生概率導出的其熵測度。它可以用戴爾係數解釋為自某個特定個人處隨機取得一塊錢的概率。並與其第一項，即總收入中個人所佔份額相同。

符號	信息論	戴爾指數 TT
${\displaystyle N}$	字符數	人口數
${\displaystyle i}$	某個特定字符	某個特定人
${\displaystyle x_{i}}$	第i個字符 character	第i個人的收入
${\displaystyle N{\overline {x}}}$	總字符數	總收入
${\displaystyle T_{T}}$	未被使用的資訊空間	未使用潛在價格機制

可分解性

戴爾指數的一個優點是它是某個子群體中不平等的加權和^[1]。例如，美國國內的不平等就是每個州的不平等的加權和，由該州收入相對於國家總收入的比值來加權。

如果人口被劃分為${\displaystyle m}$個子群體，${\displaystyle s_{k}}$ 為群體${\displaystyle k}$ 的收入比例，${\displaystyle T_{k}}$為該子群體的戴爾指數，而 ${\displaystyle {\overline {x}}_{k}}$ 為子群體 ${\displaystyle k}$的平均收入，則戴爾指數為

${\displaystyle T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{T_{k}}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}}$

因此，我們可以說某個特定群體給總體「貢獻了」一定數量的不平等。

另外一個被廣泛使用的不平等度量為堅尼系數，該係數對於很多人來說由於基於勞倫茨曲線而非常直觀。但是它卻沒有戴爾指數容易分解。

參考文獻

1. 徐淑娟. 中国经济发展中的行业收入差距问题研究. 西南財經大學出版社. 2018-02-01: 33–34 [2019-01-14]. ISBN 7550428530. （原始內容存檔於2019-06-05） （中文（中國大陸））.
2. Introduction to the Theil index from the University of Texas (PDF). [2006-01-15]. （原始內容存檔 (PDF)於2005-11-18）.
3. Diversity and Social Segregation. geodacenter.asu.edu. [2016-03-18]. （原始內容存檔於2012-07-10）.
4. Segregation Measures. www.urban.org. Urban Institute. [5 February 2018]. （原始內容存檔於2021-01-19） （英語）.
5. Parker, Lauren. Racial and Ethnic Segregation: In the News and On PolicyMap. PolicyMap. 20 July 2015 [5 February 2018]. （原始內容存檔於2019-06-08）.
6. Redundancy, Entropy and Inequality Measures. [2019-01-11]. （原始內容存檔於2020-10-23） （英語）.

外部連結

• 德克薩斯大學戴爾指數簡介 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（英文）
• 試算表: 收入不平等指標#電子表格計算
• 免費在線計算器 計算基尼系數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值
• Free Calculator: Online （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
• Users of the R （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
• MATLAB 不平等包 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼