向量測度

向量測度（vector measure）是數學名詞，是指針對集合族定義的函數，其值為滿足特定性質的向量。向量測度是測度概念的推廣，測度是針對集合定義的函數，函數的值只有非負的實數。

定義及相關推論

給定集合域 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$及巴拿赫空間 ${\displaystyle X}$，有限加性向量測度（finitely additive vector measure）簡稱測度，是一個滿足以下條件的函數${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$：針對任二個${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內的不交集${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，下式均成立：

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

向量測度${\displaystyle \mu }$稱為可數加性（countably additive）若針對任意${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內不交集形成的序列 ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$，都可以讓${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內的聯集滿足以下條件

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

等號右邊的級數會收斂到巴拿赫空間${\displaystyle X}$的範數。

可以證明向量測度${\displaystyle \mu }$有可數加性，若且唯若針對任何以上的序列${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$，下式均成立

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)}$

其中${\displaystyle \|\cdot \|}$是${\displaystyle X}$的範數。

在Σ-代數中定義的可數加性向量測度，會比有限測度（測度的值為非負數）、有限有號測度（英語：signed measure）（測度的值為實數）及複數測度（英語：complex measure）（測度的值為複數）要廣泛。

舉例

考慮一個由${\displaystyle [0,1]}$區間的集合形成的場，以及此區間內所有勒貝格測度形成的族${\displaystyle {\mathcal {F}}}$。針對任意集合${\displaystyle A}$，定義

${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$

其中${\displaystyle \chi }$是${\displaystyle A}$的指示函數。依${\displaystyle \mu }$的定義不同，會得到不同的結果。

• ${\displaystyle \mu }$若是從${\displaystyle {\mathcal {F}}}$到Lp空間 ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$的函數，${\displaystyle \mu }$是沒有可數加性的向量測度。
• ${\displaystyle \mu }$若是從${\displaystyle {\mathcal {F}}}$到L^p空間 ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$的函數，${\displaystyle \mu }$是有可數加性的向量測度。

依照上一節的判別基準(*)可以得到以上的結果。

向量測度的變差

給定向量測度${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$，其變差（variation）${\displaystyle |\mu |}$定義如下

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$

其中最小上界是針對所有${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中${\displaystyle A}$，所有將${\displaystyle A}$劃分到有限不交集的劃分

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

此處，${\displaystyle \|\cdot \|}$為${\displaystyle X}$的範數。

${\displaystyle \mu }$的變差是有限可加函數，其值在${\displaystyle [0,\infty ]}$之間，會使下式成立

${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$

針對任意在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$內的${\displaystyle A}$。若${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$是有限的，則測度${\displaystyle \mu }$有有界變差（bounded variation）。可以證明若${\displaystyle \mu }$為具有有界變差的向量測度，則${\displaystyle \mu }$具有可數加性若且唯若${\displaystyle |\mu |}$具有可數加性。

李亞普諾夫定理

在向量測度的理論中，李亞普諾夫（英語：Alexey Lyapunov）的定理提到non-atomic 向量測度的值域是閉集及凸集^[1][2][3] 。而且non-atomic 向量測度的值域是高維環面（zonoid，是閉集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）^[2]。李亞普諾夫定理有用在數理經濟學^[4][5]、起停式控制的控制理論^[1][3][6][7]及統計理論（英語：statistical theory）^[7]。 李亞普諾夫定理已可以用沙普利－福克曼引理證明^[8]，後者可以視為是李亞普諾夫定理的離散化版本^{[7][9] [10]}。