停時

在概率論中，尤其在隨機過程的研究中，停時是一種特殊的「隨機時刻」。

停時的一個範例: 布朗運動的首中時

停止規則和停時理論常在概率論和統計學中被提到和應用，其中著名的有可選抽樣定理（英語：Optional stopping theorem）。停時同時在數學證明中也被頻繁應用——「馴服時間這一連續統」 ^[1]。

定義

定義 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)}$是概率空間，${\displaystyle \leq }$ 是集合 ${\displaystyle T}$ 上的全序關係，若有個單射 ${\displaystyle {\mathcal {F}}:T\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]}$ 滿足：

• 對所有 ${\displaystyle t\in T}$ ， ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 上的Σ-代數，且 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq \Sigma }$ 。
• 對所有 ${\displaystyle s,\,t\in T}$ ， 若 ${\displaystyle t\leq s}$ 則 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\subseteq {\mathcal {F}}(s)}$

那 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 被稱為 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,P)}$ 上的一個濾子/域流（filtration），也可以稱${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\mathcal {F}},\,P)}$為一個濾波（概率）空間。

要強調是用哪個集合 ${\displaystyle T}$ 去定義濾子的時候，可以仿造序列的標記，把濾子記為 ${\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}}$ ，然後把 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$ 也簡記為 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ 。

定義 — 
${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,{\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T},\,P)}$為一個濾波空間，若函數 ${\displaystyle \tau :X\to T}$ 滿足。

${\displaystyle (\forall t\in T){\bigg \{}\{x\in X\,|\,\tau (x)\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\bigg \}}}$

那稱 ${\displaystyle \tau }$ 為濾子 ${\displaystyle {\{{\mathcal {F}}_{t}\}}_{t\in T}}$ 的一個停時（stopping time）

例子

為了解釋一些是或不是停時的隨機時刻，考慮一個玩輪盤賭的賭徒，其具有典型的賭場優勢，初始時刻賭資為100元：

• 賭且只賭一次，對應於停時${\displaystyle \tau }$ = 1，且這是一個停止規則（在停時概念中決定何時停止的規則或條件）。
• 當賭徒破產或贏得500元錢時停止賭博是一個停止規則。
• 當賭徒獲得他所能贏得的最大賭資(此時刻之前以及之後)時停止賭博不是一個停止規則，且不提供一個停止規則：因為它不僅需要此刻和過去的信息，還需要將來的信息。
• 當賭徒使其賭資翻倍時（資產為負時若必要則允許貸款）不是一個停止規則，因為只有單邊，而且他永遠不能使他的賭資翻倍的概率是正的。（這裏假設存在限制使得備註訣竅體系（加倍賭注法）或者其變異方法（比如將上次的賭金翻三倍下注）不能被使用。這類限制可以包括針對投注的但並不針對借款。）
• 當賭徒使其賭資翻倍或破產時停止賭博是一個停止規則，雖然賭徒賭博的總次數實際上並不一定是有限的，但，他在有限時間內停下來的概率是1。

局部化

停時經常被用來概括一些情景具備的隨機過程特性，在這些情景中需要的條件只在局部意義上被滿足。首先，如果 ${\displaystyle X}$ 是一個（隨機）過程，${\displaystyle \tau }$ 是它的一個停時，那麼 ${\displaystyle X^{\tau }}$ 就用來表示過程 ${\displaystyle X}$ 在 ${\displaystyle \tau }$ 時刻停止。

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$

那麼，${\displaystyle X}$ 被認為局部滿足 ${\displaystyle P}$ 特性，若存在一列停時 ${\displaystyle \tau _{n}}$，${\displaystyle n\to \infty }$，${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$ 滿足特性 ${\displaystyle P}$。常見的例子如下面兩個，其中 ${\displaystyle I=[0,\infty )}$：.

• （局部鞅）過程 ${\displaystyle X}$ 是一個局部鞅，若它是右連續有左極限的，且存在一列停時 ${\displaystyle \tau _{n}}$，${\displaystyle n\to \infty }$，使得 ${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$對 ${\displaystyle \forall n\in N}$ 是一個鞅。

• （局部可積）非負連續的過程 ${\displaystyle X}$ 是局部可積的，若存在一列停時 ${\displaystyle \tau _{n}}$，${\displaystyle n\to \infty }$，使得${\displaystyle \forall n\in N}$，${\displaystyle \mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty }$。

停時的類型

停時（表示時間的下標取自 ${\displaystyle I=[0,\infty ]}$）常常依據發生時間能否預測被分成幾類。

若 ${\displaystyle \exists {\tau _{n}}}$，${\displaystyle n\in N}$，${\displaystyle \forall n}$ ，滿足 ${\displaystyle 0<\tau _{n}<\tau _{n}+1<\tau }$，有${\displaystyle lim_{n\to \infty }x_{n}}$，則停時 ${\displaystyle \tau }$ 是可預測的。${\displaystyle {\tau _{n}}}$ 被稱為 ${\displaystyle \tau }$ 的預告，可預測的停時有時則被稱作「可預告的」。例子有連續的適應過程的到達時間。取 ${\displaystyle a\in R}$，設 ${\displaystyle X}$ 是實值連續過程，若${\displaystyle \tau }$ 是第一個使得 ${\displaystyle X=a}$ 的時刻，則 ${\displaystyle \tau }$ 是可被 ${\displaystyle \tau _{n}}$ 逼近的，即 ${\displaystyle \tau _{n}}$是第一個使得 ${\displaystyle |X-a|<1/n}$ 的時刻。

可被一列可預測的時刻覆蓋的停時稱為可接近的。即，${\displaystyle \tau }$ 是可接近的，若：對於部分 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle P(\tau =\tau _{n})=1}$，其中 ${\displaystyle \tau _{n}}$ 是可預測的時刻。

若停時 ${\displaystyle \tau }$不能被任何遞增的停時序列所逼近，則稱為完全不可接近的。等價地，${\displaystyle P(\tau =\sigma <\infty )=0}$，其中${\displaystyle \sigma }$ 是任取的可預測的時刻。例如泊松跳躍。

每個停時 ${\displaystyle \tau }$ 都可被惟一分解為一個可接近的時刻和一個完全不可接近的時刻。即，存在惟一的可接近的停時 ${\displaystyle \sigma }$ 和惟一的完全不可接近的 ${\displaystyle \upsilon }$，使得凡有 ${\displaystyle \sigma <\infty }$ 則 ${\displaystyle \tau =\sigma }$，凡有 ${\displaystyle \upsilon <\infty }$則 ${\displaystyle \tau =\upsilon }$，若 ${\displaystyle \sigma =\tau =\infty }$，則 ${\displaystyle \tau =\infty }$。在此分解結果中需要說明的是，其中的停時並不一定總是有限的，也可以等於 ${\displaystyle \infty }$。

參見

• 最優停止問題
• 秘書問題
• 首中時
• 停止過程
• 停車問題

參考文獻

1. Chung, Kai Lai. Lectures from Markov processes to Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. New York: Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90618-5.

• Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4.

延伸閱讀

• Thomas S. Ferguson. "Who solved the secretary problem?", Stat. Sci. vol. 4, 282–296, (1989).
• An introduction to stopping times.
• F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000)

• Shiryaev, Albert N. Optimal Stopping Rules. Springer. 2007. ISBN 3540740104.