伽羅瓦群

伽羅瓦群（法語：Groupe de Galois）是抽象代數中體論的概念，表示與某個類型的體擴張相伴的群，是伽羅瓦理論的基礎概念。體擴張源於多項式。通過伽羅瓦群研究體擴張以及多項式的理論，稱為伽羅瓦理論，是十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦為了解決「高次多項式方程是否有根式解」的問題而創造的。後世也以他的名字命名相關的概念。

用置換群更初等地討論伽羅瓦群，參見伽羅瓦理論一文。

定義

設有體擴張L/K。考慮所有L上的K-自同構集合。此處的K-自同構指的是L映射到L的域同構，且其限制在K上的部分是平凡的（即為恆等映射）。用數學語言描述，一個K-自同構是指滿足以下條件的同態σ^{[1]:15-16[2]:125}：

1. σ是從L映射到L上的對射。
2. σ是域同態，即：${\displaystyle \forall a,b,\in L,\;\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\;\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b).}$
3. σ將所有K中元素映射到其自身：${\displaystyle \forall x\in K,\;\sigma (x)=x.}$

可以證明，對任意的體擴張L/K，所有L上的K-自同構關於映射的複合運算構成群，稱為體擴張L/K的自同構群，記作Aut(L/K)^[1]:16。

如果L/K是一個伽羅瓦擴張，則Aut(L/K)稱為擴張L/K上的伽羅瓦群，通常記做 Gal(L/K)（有些文獻中記作Gal(L : K)）^[1]:16。

在某些介紹伽羅瓦理論的專著中，也會將任何體擴張上的自同構群都稱為伽羅瓦群，並記作Gal(L/K)σ^[2]:125。

例子

設F是一個域，${\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$分別為有理數、實數與複數域。F(a)表示在F中添加元素a生成的體擴張。

• F/F是平凡擴張，也是可分正規擴張，即伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群Gal(F/F)是只包含一個元素（即恆等映射）的平凡群。
• ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$是次數為2的伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$有兩個元素，恆等映射與複共軛自同構^[2]:127。
• ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$不是伽羅瓦擴張。其自同構群${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )}$是只包含恆等映射的平凡群。事實上可以證明，任何在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上為恆等映射的${\displaystyle \mathbb {R} }$到${\displaystyle \mathbb {R} }$的自同構，都保持實數的序結構。也就是說，只要某個自同構σ將每個有理數都映射到自身，那麼對任何a < b，都有σ(a) < σ(b)。這說明此自同構在整個實數集上都是恆等映射。

• ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$是無限伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群是無限群。
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$是次數為2的伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$有兩個元素，恆等映射與將√2與-√2互換的自同構^[2]:127。
• 考慮域${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$。${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$不是正規擴張，故不是伽羅瓦擴張。其自同構群${\displaystyle \mathrm {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$只包含恆等映射^[2]:127。
• 現在考慮${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}$，這裏ω是本原三次單位根。L是有理數體上不可約的多項式P = X³ - 2的分裂體，因此是伽羅瓦擴張。其伽羅瓦群${\displaystyle \mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$同構於3次置換群S₃。這個群是可解群，意味着多項式方程X³ - 2 = 0能用根式求解^[1]:52-53。

基本性質

設有體擴張L/K，則其自同構群Aut(L/K)滿足：

• 設P是一個以K中元素為系數的多項式。α∈L是它的一個根，則自同構群中任一個元素σ仍將α映射到P的根上^[2]:126。
• 如果L/K是有限生成的體擴張，即存在${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{m}\in L}$，使得L = K(α₁, α₂, ... , α_m)，那麼自同構群中任一個元素σ被這些元素唯一決定。也就是說，如果知道了σ(α₁), σ(α₂), ... , σ(α_m))的取值，就能知道σ作用在L中任何元素上的結果^[2]:126。
• 有限擴張的自同構群是有限群^[2]:126，其元素個數|Aut(L/K)|整除擴張次數[L : K]，因此小於等於[L : K]。兩者相等當且僅當L/K是伽羅瓦擴張^[2]:150。

設體擴張L/K為伽羅瓦擴張。以下的性質均可以在沒有伽羅瓦理論基本定理的情況下證明。

• ${\displaystyle |\mathrm {Gal} (L/K)|=[L:K]}$^[2]:130
• 令 ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (L/K)}$，則G的不變域，即 ${\displaystyle L^{G}=\{x\in L|\forall \sigma \in G,\sigma (x)=x\}}$，是K。反之，如果有限擴張L/K的自同構群的不變域是K，那麼它是伽羅瓦擴張。^[2]:150
• 設F是一個域並且複合域LF存在。那麼${\displaystyle \mathrm {Gal} (LF/F)\hookrightarrow \mathrm {Gal} (L/K)}$，即Gal(LF/F)和Gal(L/K)的一個子群同構。（由正規擴張和可分擴張的性質，KF/F是一個伽羅瓦擴張，因此可以討論Gal(LF/F)）

伽羅瓦擴張的重要性在於，有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理：伽羅瓦群的子群與體擴張的中間域之間存在着反向包含的一一對應關係。

如果Gal(L/K)是伽羅瓦擴張，則伽羅瓦群Gal(L/K)上可以裝備一個拓撲，稱為克魯爾拓撲（英語：Krull topology），使其成為一個投射有限群（英語：profinite group）。在此拓撲下，即便Gal(L/K)是無限擴張，其伽羅瓦群的閉子群與體擴張的中間域存在着反向包含的一一對應關係，有類似伽羅瓦理論基本定理的結論。

參見

• 伽羅瓦理論
• 伽羅瓦理論基本定理
• 群表示

參考來源

1. Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer（插圖版）. 1996. ISBN 9780387947532 （英語）.
2. David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004 [2014-06-14]. ISBN 9780471434191. （原始內容存檔於2014-07-14） （英語）.

外部連結

• Galois Groups（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at MathPages