三立方數和

三立方數和問題（英語：sums of three cubes）是指丟番圖方程${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$是否存在整數解的問題。由於立方數模9同餘0、1或-1，三立方數和模9不可能同餘4或5，因而這是整數解存在的一個必要條件。然而，對於該條件是否同時為充分條件目前仍未有定論。

整數x、y與z滿足x³ + y³ + z³ = n的半對數圖線，其中n ∈ [0, 100]。綠色條帶代表已證明無解的整數。

小整數例

${\displaystyle n=0}$時，若存在非平凡的三立方解，則費馬大定理找到反例。此時三個立方數中必有兩個同號，經移項，就會出現兩正整數立方和等於另一正整數立方的情況。由於歐拉早已證明冪次為3的費馬大定理^[1]，在${\displaystyle n=0}$時的三立方和只有如下平凡解：

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

${\displaystyle n=1,2}$時，存在如下解系，有無數解：

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$

以及，

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.}$

上述表示經縮放可得，任意立方數或立方數的二倍都有三立方和^[2][3]。除上述表示外，${\displaystyle n=1}$也有其他三立方和解系^[4]，${\displaystyle n=2}$有如下著名解^[4][5]：

${\displaystyle 1214928^{3}+3480205^{3}+(-3528875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37404275617^{3}+(-25282289375)^{3}+(-33071554596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3737830626090^{3}[phone]^{3}+(-3815176160999)^{3}=2.}$

然而，已經證明只在1和2處存在能被四次多項式參數化的解析表示^[6]。即便在${\displaystyle n=3}$處，也沒有參數化解系。路易斯·J·莫德爾（英語：Louis J. Mordell）在1953年寫道，除了其小整數解，「我對其一無所知」，即：

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$

「我」也不知道為什麼這三個數都滿足模9同餘^[7]。2019年9月前，上述兩式曾經是${\displaystyle n=3}$長期以來僅有的2組已知解^[8]，但就在同一月，發現了第3組解^[9][10]：

${\displaystyle 569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}=3}$

計算結果

1955年起，莫德爾（Mordell）等許多學者都嘗試過使用計算機尋找該問題的解。^{[11][12][5][13][14][15][16][17][18]}對於1000以內的正整數${\displaystyle n}$，埃爾森漢斯（Elsenhans）與雅內爾（Jahnel）於2009年使用諾姆·埃爾奇斯提出的基於格規約的方法^[15]找到了${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$範圍內的所有解。2016年，於斯曼（Huisman）使用同樣的方法將搜索上界提升至${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$。到此時為止，${\displaystyle n<100}$的正整數中，33與42以外所有模9不同餘4或5的${\displaystyle n}$都找到了至少一組整數解。^[18]

2019年，安德魯·布克（英語：Andrew Booker (mathematician)）採用一種新方法發現了${\displaystyle n=33}$的一組解：^[19]

${\displaystyle 33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}}$

此時，他在${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)<10^{16}}$的範圍里尚沒有找到${\displaystyle n=42}$的解。^[19]

隨後在2019年9月，布克和安德魯·薩瑟蘭（英語：Andrew Sutherland (mathematician)）最終敲定了42的一個解，並在MIT數學系的網站上貼了出來^{[註 1]}：

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}}$

這個解的獲得在Charity Engine全球網絡（Charity Engine's global grid）上耗費了130萬機時。

至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解^[20]。截至2019年9月 (2019-09)^[update]，未能求解最小整數是${\displaystyle n=114}$^[8]，如果有解的話，${\displaystyle (|x|,|y|,|z|)}$至少有一數大於100000000000。

在2021年1月初，又解決了579^[21]：

${\displaystyle 579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}}$

至此，僅剩的未解決的在1000以內的整數是114、390、627、633、732、921和975，一共有7個。

註釋

1. 流行文化中，42被稱生命、宇宙以及任何事情的終極答案，薩瑟蘭在頁面的標題提到了這個典故：Life, The Universe, and Everything

參考文獻

1. Machis, Yu. Yu., On Euler's hypothetical proof, Mathematical Notes, 2007, 82 (3): 352–356, MR 2364600, doi:10.1134/S0001434607090088
2. Verebrusov, A. S., Объ уравненiи x³ + y³ + z³ = 2u³ [On the equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=2u^{3}}$], Matematicheskii Sbornik, 1908, 26 (4): 622–624, JFM 39.0259.02 （俄語）
3. Mahler, Kurt, Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood, Journal of the London Mathematical Society, 1936, 11 (2): 136–138, MR 1574761, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136
4. Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen, A new method in the problem of three cubes, 2018, arXiv:1802.06776 , doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (不活躍 2019-08-16)
5. Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J., On solving the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$ on a vector computer, Mathematics of Computation, 1993, 61 (203): 235–244, MR 1202610, doi:10.2307/2152950
6. Mordell, L. J., On sums of three cubes, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1942, 17 (3): 139–144, MR 0007761, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139
7. Mordell, L. J., On the integer solutions of the equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n}$, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1953, 28: 500–510, MR 0056619, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500
8. Houston, Robin, 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?', The Aperiodical, September 6, 2019 [2022-04-03], （原始內容存檔於2022-03-15）
9. 陳宏賓. 數學家接連破解超過六十年未知的丟番圖方程式: 33和42的三立方和問題. UniMath網站. 2019-09-25 [2020-06-14]. （原始內容存檔於2020-04-30）.
10. Lu, Donna, Mathematicians find a completely new way to write the number 3, New Scientist, 2019-09-18 [2021-01-30], （原始內容存檔於2022-03-12）
11. Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C., Solutions of the Diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=k}$, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1955, 30: 101–110, MR 0067916, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101
12. Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R., Solutions of the diophantine equation ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}-d}$, Mathematics of Computation, 1964, 18: 408–413, MR 0175843, doi:10.2307/2003763
13. Conn, W.; Vaserstein, L. N., On sums of three integral cubes, The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), Contemporary Mathematics 166, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 285–294, 1994, MR 1284068, doi:10.1090/conm/166/01628
14. Bremner, Andrew, On sums of three cubes, Number theory (Halifax, NS, 1994), CMS Conference Proceedings 15, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 87–91, 1995, MR 1353923
15. Elkies, Noam D., Rational points near curves and small nonzero ${\displaystyle |x^{3}-y^{2}|}$ via lattice reduction, Algorithmic number theory (Leiden, 2000), Lecture Notes in Computer Science 1838, Springer, Berlin: 33–63, 2000, MR 1850598, doi:10.1007/10722028_2
16. Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim, New integer representations as the sum of three cubes, Mathematics of Computation, 2007, 76 (259): 1683–1690, MR 2299795, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3
17. Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg, New sums of three cubes, Mathematics of Computation, 2009, 78 (266): 1227–1230, MR 2476583, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6
18. Huisman, Sander G., Newer sums of three cubes, 2016, arXiv:1604.07746 
19. Booker, Andrew R., Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, 2019 [2019-03-12], （原始內容存檔 (PDF)於2021-02-14）
20. 李信昌. 三立方和整數解 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. 昌爸數學工作坊
21. [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）在twitter裏面