霍普夫-里諾定理

數學中，霍普夫-里諾定理（Hopf–Rinow theorem）是關於黎曼流形的測地完備性的一套等價命題，以海因茨·霍普夫和他的學生維利·里諾命名。定理如下：

設M是黎曼流形，則下列命題等價：

1. ${\displaystyle M}$的有界閉子集是緊的。
2. ${\displaystyle M}$是完備度量空間。
3. ${\displaystyle M}$是測地完備：對${\displaystyle M}$中任意點${\displaystyle p}$，指數映射${\displaystyle \exp _{p}}$可定義在整個切空間${\displaystyle T_{p}M}$。

而且，以上任一條均可導出對於${\displaystyle M}$中任何兩點${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，存在連起兩點的測地線使長度最短（測地線一般是極值，不一定是最小值）。

推廣

霍普夫—里諾定理推廣至長度度量空間如下：

若一長度度量空間${\displaystyle (M,d)}$是完備和局部緊，那麼${\displaystyle M}$中任意兩點可以用長度最短的測地線連起，${\displaystyle M}$的任意有界閉子集是緊的。

參考書目

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-4267-2 See section 1.4.