有界集合

在數學分析和有關的數學領域中，如果一個集合在某種意義上有有限大小，則稱為有界。反過來說，不是有界的集合就叫做無界。

（頂上的）有界集合和（底下的）無界集合的示意圖。底下的這個集合一直向右延續。

定義

如果存在一個實數 ${\displaystyle k}$，使得對於所有 ${\displaystyle S}$ 中的 ${\displaystyle s}$ 有 ${\displaystyle k\geq s}$，實數集合 ${\displaystyle S}$ 被稱為「上有界」的，這個數 ${\displaystyle k}$ 被稱為 ${\displaystyle S}$ 的上界。可用類似的定義術語「下有界」和下界。

如果集合 ${\displaystyle S}$ 有上界和下界二者，則它是有界的。所以，如果一個實數集合包含在有限區間內，則它是有界的。

度量空間

度量空間 ${\displaystyle (M,d)}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 是有界的，如果它包含在有限半徑的球內，就是說如果對於所有 ${\displaystyle S}$ 中的 ${\displaystyle s}$，存在 ${\displaystyle M}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 並且 ${\displaystyle r>0}$，使得 ${\displaystyle d(x,s)<r}$。${\displaystyle M}$ 是有界度量空間（或 ${\displaystyle d}$ 是有界度量），如果 ${\displaystyle M}$ 作為自身的子集是有界的。

• 完全有界性蘊涵有界性。對於 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集下列二者是等價的。
• 度量空間是緊緻的，若且唯若它是完備的並且是完全有界的。
• 歐幾里得空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集是緊緻的，若且唯若它是閉集並且是有界的。

拓撲向量空間內的有界性

在拓撲向量空間中，存在一個有界集合的不同定義，通常叫做馮·諾伊曼有界性。如果拓撲向量空間的拓撲是由均勻度量所誘導，如度量是由賦范向量空間的範數所誘導的情況，則這兩個定義是一致的。

序理論中的有界性

一個實數集合是有界的，若且唯若它有上界和下界。這個定義可擴展到任何偏序集合的子集。注意這個更一般的有界性概念不對應於「大小」的概念。

對於偏序集合 ${\displaystyle P}$ 的子集 ${\displaystyle S}$，如果 ${\displaystyle S}$ 中的所有元素 ${\displaystyle s}$，都小於 ${\displaystyle P}$ 中的某個元素 ${\displaystyle k}$，也就是對於所有${\displaystyle s\in S}$，${\displaystyle s\leq k}$，其中${\displaystyle k\in P}$ ，則稱S為上有界的(bounded above)，而元素 ${\displaystyle k}$ 稱為 ${\displaystyle S}$ 的上界。同理可定義下有界和下界。（參見上界和下界。）

偏序集合 ${\displaystyle P}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等價的說，它被包含在一個區間內。注意這不是集合 ${\displaystyle S}$ 自己的一個性質，而是集合 ${\displaystyle S}$ 作為 ${\displaystyle P}$ 的子集的性質。

有界偏序集合 ${\displaystyle P}$（就是說自身就是有界而不是作為子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關，有界偏序集合 ${\displaystyle P}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle P}$ 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 是關於歐幾里得距離有界的，若且唯若它在乘積序（英語：Product order）下作為 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的子集是有界的。但是，${\displaystyle S}$ 可以是在字典序下有界，而不關於歐幾里得距離有界。

序數的類被稱為是無界的，或共尾的，在給定任何序數的時候，總是有這個類的某個成員大於它。所以在這種情況下，「無界」不意味着自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。

參見

• 完全有界空間
• 局部有界性
• 有界函數