閔可夫斯基不等式

在數學中，閔可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明L^p空間是一個賦范向量空間。設 ${\displaystyle S}$ 是一個測度空間，${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,f,g\in L^{p}(S)}$，那麼 ${\displaystyle f+g\in L^{p}(S)}$，我們有：

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$

如果 ${\displaystyle 1<p<\infty }$，等號成立若且唯若 ${\displaystyle \exists k\geq 0,f=kg}$，或者 ${\displaystyle g=kf}$ .

閔可夫斯基不等式是 ${\displaystyle L^{p}(S)}$ 中的三角不等式。它可以用赫爾德不等式來證明。和赫爾德不等式一樣，閔可夫斯基不等式取可數測度可以寫成序列或向量的特殊形式：

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$

將所有實數 ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1}\,,\ \cdots ,y_{n}}$（${\displaystyle n}$ 為 ${\displaystyle S}$ 的維數）改成複數同樣成立。

值得指出的是，如果 ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}>0}$，${\displaystyle p<1}$，則 ${\displaystyle \leq }$ 可以變為 ${\displaystyle \geq }$ .

積分形式的證明

我們考慮 ${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$ 的 ${\displaystyle p}$ 次冪：

${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{{\frac {1}{p}}\cdot p}=\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx}$

（用三角形不等式展開 ${\displaystyle |f(x)+g(x)|}$）

${\displaystyle \leq \int _{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int _{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx}$

（用赫爾德不等式）

${\displaystyle \leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}}$

${\displaystyle =\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}$

（利用 ${\displaystyle p=qp-q}$，因為${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$）

${\displaystyle =\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{q}}}$

現在我們考慮這個不等式序列的首尾兩項。首項除以尾項的最後一個因子，即得

${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}}$

這正是我們所要的結論。

對於序列的情形，證明是完全類似的。

參閱

• 馬勒不等式

參考文獻

• 邢家省; 王樹澤. Young不等式在L~p空间中的应用. 聊城大學學報(自然科學版). 2007, (03): 19–22 [2022-03-04]. ISSN 1672-6634. （原始內容存檔於2022-03-04）.
• 張願章. Young不等式的证明及应用. 河南科學. 2004, (01): 23–29 [2022-03-04]. ISSN 1004-3918. doi:10.13537/j.issn.1004-3918.2004.01.006. （原始內容存檔於2022-03-04）.
• 匡繼昌. 常用不等式. 山東科技出版社. 2004年. ISBN 7-5331-3618-7. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)
• （英）哈代（G.H.Hardy），（英）利特爾伍德（J.E.Littlewood），（美）波利亞（G.Polya）著；越民義 譯. 《不等式》. 人民郵電出版社. 2008: 第二章 第十七節. ISBN 978-7-115-18802-1. 使用|accessdate=需要含有|url= (幫助)