鉛垂線

此條目介紹的是指示重力方向的方向線。

• 關於作為測量工具的重物，請見「鉛垂」。
• 關於三角形中過頂點與底邊垂直的直線，請見「高線」。

鉛垂線（英語：Plumb line），又稱垂線或力線^[1]:29，在大地測量學中指重力作用的方向線^[2]:142[3]:8。鉛垂線與與重力矢量的方向處處相切，該方向又被稱為鉛垂方向，有時也直接以鉛垂線代稱。^[4]:48-50在重力場中，鉛垂線通常是曲線而非直線，彼此互不平行，與其經過的重力等位面正交。^[4]:50鉛垂線與參考橢球面的法線之間的方向偏差被稱為垂線偏差。^[4]:83

橘紅色的橫向虛線為各重力等位面，其中加粗的為大地水準面（Geoid）；陽橙色的縱向虛線為鉛垂線（true vertical），其與重力等位面正交。

在測量學中，鉛垂線是測量外業的基準線。^[3]:8[5]

曲率

由於在重力場中，除軸線外，同一直線上各點的重力矢量方向通常各不相同。因此，鉛垂線通常是一條具有曲率的曲線。通過計算鉛垂線的曲率，可以將地形表面上進行的天文測量數據歸算到大地水準面上。^[4]:53鉛垂線在某點處的曲率 ${\displaystyle \kappa }$ 可以通過該點處的重力矢量的大小 ${\displaystyle g}$ 及其一階微分 ${\displaystyle g_{x}}$、${\displaystyle g_{y}}$ 得到：^[4]:54

${\displaystyle \kappa ={1 \over g}{\sqrt {g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}}}$

推導過程

設鉛垂線的線元矢量為 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\mathbf {x} =(\operatorname {d} \!x,\operatorname {d} \!y,\operatorname {d} \!z)}$，重力矢量為 ${\displaystyle \mathbf {g} =(W_{x},W_{y},W_{z})}$，兩者間僅相差一個比例因子：^[4]:53

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!x}{W_{x}}}={\frac {\operatorname {d} \!y}{W_{y}}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{W_{z}}}}$

根據微分幾何中曲率的計算公式，鉛垂線投影在 ${\displaystyle xz}$ 平面上的曲率 ${\displaystyle \kappa _{1}}$ 為

${\displaystyle \kappa _{1}={\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!z^{2}}}$

上式的二階微分可由重力位 ${\displaystyle W}$ 的偏微分得到：

${\displaystyle {\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z}={W_{x} \over W_{z}}\longrightarrow {\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!z^{2}}={1 \over W_{z}^{2}}\left[W_{z}(W_{xz}+W_{xx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})-W_{x}(W_{zz}+W_{zx}{\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z})\right]}$

取沿向上的鉛垂方向為 ${\displaystyle z}$ 軸正向，建立局部坐標框架。此時重力位 ${\displaystyle W}$ 在 ${\displaystyle xy}$ 平面的微分為零，即

${\displaystyle W_{x}=W_{y}=0\longrightarrow {\operatorname {d} \!x \over \operatorname {d} \!z}=0}$

將上式代入曲率 ${\displaystyle \kappa _{1}}$ 的計算公式，得：

${\displaystyle \kappa _{1}={W_{zx} \over W_{z}}}$

其中，重力位沿 ${\displaystyle z}$ 軸方向的微分 ${\displaystyle W_{z}=-g}$. 其中 ${\displaystyle g}$ 為重力矢量的大小，即 ${\displaystyle g=\lVert \mathbf {g} \rVert }$. 則重力位的微分可替換為重力矢量大小的微分：^[4]:54

${\displaystyle \kappa _{1}={g_{x} \over g}}$

同理可證，鉛垂線投影在 ${\displaystyle yz}$ 平面上的曲率 ${\displaystyle \kappa _{2}}$ 為

${\displaystyle \kappa _{2}={g_{y} \over g}}$

由於鉛垂線與 ${\displaystyle z}$ 軸在上述定義的局部坐標框架中相切，即鉛垂線投影在 ${\displaystyle xy}$ 平面上的曲率為零，再由總曲率的計算公式可以得到：^[4]:54

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}}}={1 \over g}{\sqrt {g_{x}^{2}+g_{y}^{2}}}}$