垂線偏差

垂線偏差（英語：Vertical deflection）指地球表面上某一點處垂線方向和法線方向的差異，也即重力異常向量的方向。^[1]垂線偏差可以表示為當地天文坐標與地理坐標之間的差異，其中前者在水準面上通過重力測量的方式確定，而後者是天文坐標投影到橢球面上的位置。對垂線偏差的數學描述通常以法線為基準。^[2]

藍色直線為過交點的垂線方向，紅色直線為過交點的法線方向，兩者間的差異即為垂線偏差

數學表達

設 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 為大地水準面上一點，其所處的垂線方向為 ${\displaystyle \mathbf {n} }$，通過重力測量方式測得的天文坐標為 ${\displaystyle \left(\Phi ,\Lambda \right)}$ 。將其沿參考橢球面的法線 ${\displaystyle \mathbf {n'} }$ 投影至橢球面上的點 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$，得到其地理坐標為 ${\displaystyle \left(\varphi ,\lambda \right)}$ 。在實際測量過程中，常以其在南北方向（即子午圈方向）上的投影 ${\displaystyle \xi }$ 和其在東西方向（即卯酉圈方向）上的投影 ${\displaystyle \eta }$ 描述：

${\displaystyle {\begin{cases}\xi =\Phi -\varphi \\\eta =(\Lambda -\lambda )\cos {\varphi }\end{cases}}}$

與重力異常和重力擾動的關係

設 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 點處測量得到的真實重力向量為 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {g} }}_{P}}$，而 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 點處計算得到的正常重力向量為 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}_{Q}}$，則 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 點處的重力異常向量為：^[1]

${\displaystyle \Delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}_{Q}}$

又設 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 點處測量得到的正常重力向量為 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}_{P}}$，則 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 點處的重力擾動向量為：^[1]

${\displaystyle \delta {\vec {\mathbf {g} }}={\vec {\mathbf {g} }}_{P}-{\vec {\mathbf {\gamma } }}_{P}}$

重力異常向量和重力擾動向量的方向同為垂線偏差的方向，因為 ${\displaystyle \mathbf {P} }$、${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 兩點的正常重力方向在同一條直線上。

與大地水準面高的關係

大地水準面高即為兩點間的距離 ${\displaystyle PQ}$ ，垂線偏差亦可表示為大地水準面高的泛函。以一過垂線的垂直面截取點 ${\displaystyle \mathbf {P} }$，垂線偏差在此平面內的分量 ${\displaystyle \varepsilon }$ 與大地水準面高 ${\displaystyle N}$ 和大地水準面上的弧微分 ${\displaystyle \operatorname {d} \!s}$ 存在如下幾何關係：

${\displaystyle \tan \varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s}$

習慣上取沿法線向下的方向為正，因此上式中的 ${\displaystyle -\operatorname {d} \!N}$ 為負值。又因垂線偏差的分量 ${\displaystyle \varepsilon }$ 是微小量，即 ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ ，因此上式也可寫成：

${\displaystyle \varepsilon =-\operatorname {d} \!N/\operatorname {d} \!s\quad ({\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0})}$

再以地球平均半徑 ${\displaystyle R}$ 替代點 ${\displaystyle \mathbf {P} }$ 在各法截面上的曲率半徑，得到大地水準面上弧微分的近似計算公式為

${\displaystyle {\operatorname {d} \!s}^{2}=R^{2}{\operatorname {d} \!\varphi }^{2}+R^{2}{\cos }^{2}{\varphi }^{2}{\operatorname {d} \!\lambda }^{2}}$

分別取垂直面分別與子午圈平行（即 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\lambda =0}$）和與卯酉圈平行（即 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi =0}$），得到垂線偏差的兩個分量與大地水準面高的關係為：^[2]

${\displaystyle {\begin{cases}\xi =-{\frac {1}{R}}{\partial N \over \partial \varphi }\\\eta =-{\frac {1}{R\cos \varphi }}{\partial N \over \partial \lambda }\end{cases}}}$

參見

• 法線
• 鉛垂線
• 參考橢球面
• 大地水準面
• 重力異常
• 重力擾動

參考文獻

1. Sneeuw, Nico. Physical Geodesy (PDF). Institute of Geodesy Universität Stuttgart. 2006: 104–108 [2020-04-02]. （原始內容 (PDF)存檔於2020-04-13）.
2. 寧津生. 管澤霖 , 編. 地球形状及外部重力场. 測繪出版社. 1981: 243–249.