郝斯多夫維數

郝斯多夫維數又稱作郝斯多夫-貝塞科維奇維數（英語：Hausdorff-Besicovitch Dimension）或分形維數，它是由德國數學家郝斯多夫（Felix Hausdorff）於1918年引入的。通過郝斯多夫維數可以定義任意度量空間的子集之維數，包括像是分形（Fractal）等複雜的集合。對於簡單的幾何形狀比如線、長方形、長方體等郝斯多夫維數等同於它們通常的幾何維度或者說拓撲維度。通常來說一個物體的郝斯多夫維數不像拓撲維度一樣總是一個自然數而可能會是一個非整的有理數或者無理數。

通俗的描述

從直覺上來說一個集合的維數是描述這個集合中一點所需的獨立參數的個數。比如要描述一個平面里的一點我們需要兩個坐標x和y，那麼平面的維數便是2。最接近這個想法的數學模型是拓撲維度。可以預見拓撲維度必然是一個自然數。但是拓撲維度在描述某些不規則的集合比如分形的時候遭遇到了困難，而郝斯多夫維數則是一個描述該種集合的恰當工具。

設想有一個由三維空間內具有有限大小的點組成的集合，N是用來覆蓋這個集合內所有點所需的半徑為R的球體的最少個數，則這個最小數N是R的一個函數，記作N(R)。顯然R越小則N越大，假設N(R)和R^d之間存在一個反比的關係，我們把這個關係記作

${\displaystyle N(R)\sim {\frac {1}{R^{d}}}}$

當R趨向於0時，我們得到

${\displaystyle d=-\lim _{R\rightarrow 0}\log _{R}N}$

這裏的d就是這個集合的郝斯多夫維數^{[來源請求]}。

在這裏除了球體以外也可以使用正方體或其它類似的物體來覆蓋集合內的點。如果是在一個二維平面內則應該使用圓而非球體。總之在一個n維空間則應該使用相應的n維物體。對於一條有限長度的曲線來說所需的「球體」的個數和它的半徑成反比，那麼曲線的郝斯多夫維數為1。對於一個平面而言，所需的「球體」的個數明顯和它的半徑的平方成反比，那麼這個平面的郝斯多夫維數則為2。

考察一個特殊的幾何物體，這個物體由n個大小一致且互不重疊的小物體組成，這些小物體的形狀和這個物體本身相同。若這些小物體和大物體的大小比例為1:m，那麼這個幾何物體的郝斯多夫維數為${\displaystyle d=\log _{m}n}$。若這些小物體的大小不同，設每個小物體與大物體的大小比例為${\displaystyle m_{i}}$，那麼有${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{m_{i}^{d}}}=1}$。這裏我們稱其為相似維度。下面是兩個例子：

1. 正方形：一個正方形由9個長寬都只有它三分之一的小正方形組成，那麼${\displaystyle d=\log _{3}9=2}$。
2. 科赫曲線：科赫曲線的每一部分都由4個跟它自身比例為1:3的形狀相同的小曲線組成，那麼它的郝斯多夫維數為${\displaystyle d=\log _{3}4=1.26185950714...}$，是一個無理數。

   

   動畫描述的是科赫曲線的第一到第六次迭代。

實際上郝斯多夫維數的計算並不像上面的例子那樣簡單，甚至可以說很不容易。請參看本條目的『計算』部分。

嚴格的定義

郝斯多夫外測度： 令X為一個度量空間，E為X的一個子集，d ∈ [0, ∞)，定義

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(E)=\inf {\Bigl \{}\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} \;U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq E,\,\operatorname {diam} \;U_{i}<\delta {\Bigr \}}.}$

則E的d次郝斯多夫外測度被定義為：

${\displaystyle H^{d}(E)=\lim _{\delta \rightarrow 0}H_{\delta }^{d}(E).}$

郝斯多夫維數： 郝斯多夫維數被定義為郝斯多夫外測度從零變為非零值跳躍點對應的s值。嚴格的定義為：

${\displaystyle \mathrm {dim} _{H}(E)=\inf\{s:H^{s}(E)=0\}=\sup\{s:H^{s}(E)=\infty \}}$

郝斯多夫維數的性質

併集或積的維度

設${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$可數個集合的併集，則

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

此結果可以直接利用定義驗證。

如果${\displaystyle X,Y}$是兩個非空度量空間，那麼其積的郝斯多夫維度滿足^[1]

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).}$

上式的嚴格不等號是可能成立的，例如可以找到兩個維度是0的集合，其積的維度是1^[2] 。

在另一個方向，有個著名的結果是如果${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$是博雷爾集，則其積的郝斯多夫維度有上界：${\displaystyle X}$的郝斯多夫維度加上${\displaystyle Y}$的上填充維度，此結果在Mattila (1995)討論.

計算

郝斯多夫維數是不容易直接計算的，一般的可以通過計盒維數（Box-counting dimension）估計到它的一個上界，而且可以通過局部維數（點維數，Local dimension）估計到它的一個下界。

自相似集的維數

對於許多由自相似條件定義的分形，其郝斯多夫維數可以依據以下的理論得出。其中一集合${\displaystyle E}$是自相似的如果存在壓縮映射

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\dots ,m}$

使得

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A),}$

${\displaystyle H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,\quad 1\leq i<j\leq m.}$

事實上，如果${\displaystyle \psi _{i}}$都是壓縮映射，那麼存在唯一的非空緊緻集合${\displaystyle A}$滿足上上式。這個定理可將巴拿赫的巴拿赫不動點定理應用在完備度量空間（${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的非空緊緻子集和郝斯多夫距離）。^[3]

開集條件

為了計算某些特定情況時的郝斯多夫維數，我們需要定義開集條件（open set condition 簡稱 OSC）：我們說映射${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,m}$滿足開集條件如果非空有界開集${\displaystyle V}$使得

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

其中上式併集的${\displaystyle m}$個集合兩兩不相交。

開集條件是為了確保${\displaystyle V}$沒有「太小」時，${\displaystyle \psi _{i}(V)}$不要重疊「太多」，從而${\displaystyle \psi _{i}(A)}$不要重疊「太多」（其中${\displaystyle \textstyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$）。接着我們給出計算維數的定理：

定理. 假設壓縮映射${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,m}$滿足開集條件，並且其縮放比例分別為${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in (0,1)}$。則對於唯一滿足${\displaystyle \textstyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A)}$的集合，其郝斯多夫維數${\displaystyle s}$滿足^[4]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

利用此定理，我們就可以簡單的算出一些集合的郝斯多夫維數，例如康托爾集的郝斯多夫維數${\displaystyle s}$滿足

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{3}}\right)^{s}=1,}$

從而${\displaystyle s=\log _{3}2}$。

參考資料

1. Marstrand, J. M. The dimension of Cartesian product sets. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1954, 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236.
2. Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. 2003.
3. Falconer, K. J. Theorem 8.3. The Geometry of Fractal Sets. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-25694-1.
4. Hutchinson, John E. Fractals and self similarity. Indiana Univ. Math. J. 1981, 30 (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.