計算群論

在數學中，計算群論是一種用計算機研究群的理論，它涉及設計和分析算法和數據結構以計算有關群的信息。人們研究這個理論目的是對於許多「有趣」的群來說，比如大多數散在群，手工計算群的相關信息是不切實際的。即使是比較簡單的有限群的 中心 (群論)和正規子群，使用枚舉算法也比邏輯推導快速很多。

計算群論中的重要算法包括：

• 用於查找置換群階的Schreier–Sims 算法。
• 用於陪集枚舉的Todd–Coxeter 算法和Knuth–Bendix 算法。
• 用於查找組中隨機元素的乘積替換算法。

計算群論的兩個重要計算機代數系統(CAS) 是GAP和Magma （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） 。從歷史上看，其他系統如 CAS（特徵理論）和Cayley （Magma 的前身）也很重要。

計算群論的主要研究包括:

• 小於 2000 階的所有有限群的完整枚舉
• 計算所有散在群的群表示

最近的發展

數學家最近使用計算群論來簡化有限單群分類的冗長證明。比如使用範疇論的理論方法實現米高·阿什巴赫在Fusion Theory提出的簡化計劃，現在的具體方法是通過MAGMA算法解決較小階的p群問題。^[1]

有趣的網站

• GroupNames, 這個網站有小於240階的群的表示和對應的GAP和Magma的代碼。[1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參考文獻

• Derek F. Holt, Bettina Eick, Eamonn A. O'Brien, "Handbook of computational group theory", Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton). Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2005.  ISBN 1-58488-372-3

• Charles C. Sims, "Computation with Finitely-presented Groups", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol 48, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.  ISBN 0-521-43213-8
• Ákos Seress, "Permutation group algorithms", Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 152, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.  ISBN 0-521-66103-X.

1. Parker C, Semeraro J. Algorithms for fusion systems with applications to 𝑝-groups of small order. Mathematics of Computation. 2021, (2415-2461): 90(331).