p-群

在數學中的群論中，給定一質數 ${\displaystyle p}$ ，${\displaystyle p}$-群（英語：p-group）是每個元素的階都是 ${\displaystyle p}$ 的次方的一個群 ${\displaystyle G}$ ；換言之，對每個 ${\displaystyle G}$ 中的 ${\displaystyle g}$ ，存在一個正整數 ${\displaystyle n}$ 使得 ${\displaystyle g}$ 的 ${\displaystyle p^{n}}$ 次方等於單位元素， ${\displaystyle g^{(p^{n})}=e}$ 而對小於 ${\displaystyle p^{n}}$ 的其他正整數 ${\displaystyle m}$ 則有 ${\displaystyle g^{m}\neq e}$。

若 ${\displaystyle G}$ 有限，則上述定義等價於 ${\displaystyle G}$ 的階為 ${\displaystyle p}$ 的次方。有限 ${\displaystyle p}$-群的結構已被深入研究，其中一個使用類方程的標準結論為一個非平凡有限 ${\displaystyle p}$-群的中心不可能為一個平凡子群。一個 ${\displaystyle p^{n}}$ 階的 ${\displaystyle p}$-群會包含着 ${\displaystyle p^{i}}$ 階的子群，其中 ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ 。更一般性地，每一個有限 ${\displaystyle p}$-群都會是冪零群，因而都是可解群。

有相同階的p-群不一定會互相同構；例如，循環群C₄和克萊因四元群都是4階的2-群，但兩者並不同構。一個p-群不一定要是阿貝爾群；如8階的二面體群即為一個非可換2-群。（但每個p²階的群都會是可換的。）

以趨進的觀點來看，幾乎所有的有限群都會是p-群。實際上，幾乎所有的有限群都是2-群：2-群的同構類與其階至多為n之群的同構類的比例在當n趨進於無限大時會趨進於1。例如，其階至多為2000的所有不同的群會有99%為1024階的2-群。^[1]

每一個非當然有限群都會包括一個為非當然p-群之子群。詳述請見西洛定理。

無限群的例子，見普呂弗群。

性質

${\displaystyle p}$-群中，所有元素的階都是有限的，因此${\displaystyle p}$-群是週期群

另見

• 冪零群
• 西洛子群
• 普呂弗秩
• 超特別群

參考

1. Besche, Hans Ulrich, Bettina Eick and Eamonn O'Brien. (2001) 小群圖書館 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）