除法

數學中，尤其是在基本計算裏，除法（英語：division）可以看成是「乘法的反運算」，也可以理解為「重複的減法」。除法運算的本質就是「把參與運算的除數變為${\displaystyle 1}$，得出同比的被除數的值」。

將20個蘋果平均分成四等分（左上），每份有5個蘋果（右下），即${\displaystyle {{20}\div {4}}=5}$；亦可以說成，將20個蘋果每5個分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此時可以表達為${\displaystyle {{20}\div {5}}=4}$

例如：${\displaystyle {{6}\div {3}}=2}$，就好像${\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}$， ${\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}}$，${\displaystyle 6}$被${\displaystyle 3}$減了兩次後，就變成了${\displaystyle 0}$。

如果

${\displaystyle a\times b=c}$

而且${\displaystyle b}$不等於零，那麼

${\displaystyle a=c\div b}$

其中，a稱為商數，b稱為除數，c稱為被除數。

如果除式的商數（${\displaystyle a}$）必須是整數，則稱為帶餘除法，${\displaystyle a\times b}$與${\displaystyle c}$相差的數值，稱為餘數（${\displaystyle d}$）。

${\displaystyle c\div b=a\dots d}$

這也意味着

${\displaystyle c=a\times b+d}$

在高等數學（包括在科學與工程學中）和計算機程式語言中，${\displaystyle c\div b}$寫成${\displaystyle c/b}$。如果我們不需要知道確切值或者留待以後引用，這種形式也常常是稱之為分數的最終形式。其中尋找商數的函數為${\displaystyle \operatorname {div} }$，尋找餘數的函數則為${\displaystyle \operatorname {mod} }$。

在大部分的非英語語言中，${\displaystyle c:b}$代表${\displaystyle c\div b}$的比，讀做c比b；${\displaystyle c/b}$則代表${\displaystyle c\div b}$的比值。用法請參照比例。

整除

整除是數學中兩個自然數之間的一種關係。自然數${\displaystyle a}$可以被自然數${\displaystyle b}$整除，是指${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因數，且a是b的整數倍數，也就是${\displaystyle a}$除以${\displaystyle b}$沒有餘數。

${\displaystyle a\div b=q\dots 0}$

因數判別法可參照整除規則。

表示法

${\displaystyle b\mid a}$表示${\displaystyle b}$整除${\displaystyle a}$，即${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$的倍數，${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因數。

舉例

${\displaystyle 15}$可以被${\displaystyle 5}$整除，記作${\displaystyle 5\mid 15}$。

${\displaystyle 20}$不能被${\displaystyle 6}$整除（因為餘數為${\displaystyle 2}$），記作${\displaystyle 6\nmid 20}$。在${\displaystyle \mid }$上加一條斜線即表示不整除。

除法計算

根據乘數表，兩個整數可以用長除法（直式除法）筆算。如果被除數有分數部分（或者說時小數點），計算時將小數點帶下來就可以；如果除數有小數點，將除數與被除數的小數點同時移位，直到除數沒有小數點。

算盤也可以做除法運算。

長除法

長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算${\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}$的過程可以表示為：

${\displaystyle 1260257\div 37}$的演算過程

${\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}$

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算${\displaystyle 3\div 7}$的近似值：

${\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}$

• 使用短除法計算${\displaystyle 420}$的質因數分解：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}$

${\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}$

• 使用短除法計算${\displaystyle 420,270}$的最大公因數及最小公倍數：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}$

多項式的除法

主條目：綜合除法

和整數之間的帶餘除法類似，一元多項式之間也可以進行帶餘除法。可以證明，設有多項式${\displaystyle A}$和非零多項式${\displaystyle B}$，則存在唯一的多項式${\displaystyle Q}$和${\displaystyle R}$，滿足：

${\displaystyle A=BQ+R}$

而多項式${\displaystyle R}$若非零多項式，則其冪次嚴格小於${\displaystyle B}$的冪次。

作為特例，如果要計算某個多項式${\displaystyle P}$除以一次多項式${\displaystyle X-a}$得到的餘多項式，可以直接將${\displaystyle a}$代入到多項式${\displaystyle P}$中。${\displaystyle P}$除以${\displaystyle X-a}$的餘多項式是${\displaystyle P(a)}$。

具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如，計算${\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}$除以${\displaystyle X-3}$，列式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$

因此，商式是${\displaystyle \ X^{2}-9X-27}$，餘式是${\displaystyle \ -123}$。

重要性質

通常不定義除以零這種形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。

參見

• 籌算除法
• 同餘
• 餘數
• 帶餘除法