乘數表

乘數表是數學中用於定義一個數系中的乘法運算。

世界上最早的十進位乘數表《算表》

在初等算術中

乘數表（如教授小學生乘法運算時所使用的那種）是一個表格，其各行和各列以要相乘的數開頭，表格中部的單元格中的數則是該單元格所在的行、列上開頭的數的乘積。

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

舉例來說，3 × 6 的結果18可以通過在表中查3和6開頭的行列交叉處單元格的內容得到。

表中未列出關於零的運算，這是因為任何數乘以零都等於零。

各國使用的乘數表有可能不太一樣。舉例來說，有的國家的乘數表包含的範圍是從1×1到10×10，有些是從2×1到9×9，還有些是從1×1到12×12。

習慣用法

乘法運算的傳統的強記型的學習方式是基於對表中各列的記憶的，以如下的方式：

1 × 7 = 7

2 × 7 = 14

3 × 7 = 21

4 × 7 = 28

5 × 7 = 35

6 × 7 = 42

7 × 7 = 49

8 × 7 = 56

9 × 7 = 63

在中國的使用習慣

主條目：九九表

在中國，用於基本算術教育的乘數表只包含了上表中從1×1到9×9的部分，所以通常被稱作「九九表」，又稱九因歌。

為了減少需要記憶的內容和使形式更簡明易用，根據乘數可交換的運算規則，去掉了表中重複的部分。這樣表就變成了一個三角形：

1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9

中國的學齡前兒童在記憶以上經過簡化的乘數表是通過口訣來記憶的，例如：「一二得二，二二得四，二三得六，二四得八，二五一十，二六十二，二七十四，二八十六，二九十八....」。對於像9×7這樣的計算，孩子們能條件反射地將較小的乘數調整到前面，並使用口訣「七九六十三」得到結果。由於任何數與1相乘都等於該數自身，所以通常也不用背誦乘數為1的行列，這樣最終需要背誦的口訣只有36句。

九九表和乘數表不同之處在於乘數、被乘數只限單位數，最高到9，便於兒童背記；多位數的的乘法留歸算術進位乘法解決，無需要背記。換言之九九表是乘數表的核心。

表中的模式

例如，與6相乘的運算呈現出以下模式：

 2 × 6 = '12'
 4 × 6 = '24'
 6 × 6 = '36'
 8 × 6 = '48'
 10 × 6 = '60'

可歸納為：

 數 × 6 = 該數乘以10的一半 + 該數

該法則可方便地用於偶數，其實對於奇數也同樣適用：

 1 × 6 = 05 +  1 =  6
 2 × 6 = 10 +  2 = 12
 3 × 6 = 15 +  3 = 18
 4 × 6 = 20 +  4 = 24
 5 × 6 = 25 +  5 = 30
 6 × 6 = 30 +  6 = 36
 7 × 6 = 35 +  7 = 42
 8 × 6 = 40 +  8 = 48
 9 × 6 = 45 +  9 = 54
10 × 6 = 50 + 10 = 60

另外，與9相乘的運算呈現出以下模式：

 數 × 9 = 該數乘以10 - 該數

 1 × 9 = 10 -  1 =  9
 2 × 9 = 20 -  2 = 18
 3 × 9 = 30 -  3 = 27
 4 × 9 = 40 -  4 = 36
 5 × 9 = 50 -  5 = 45
 6 × 9 = 60 -  6 = 54
 7 × 9 = 70 -  7 = 63
 8 × 9 = 80 -  8 = 72
 9 × 9 = 90 -  9 = 81
10 × 9 = 100 - 10 = 90

在抽象代數中

乘數表亦可用於定義群、域、環、及其它抽象代數中的二元運算。在此類環境中這些乘數表被稱為凱萊表，可以參看八元數中的例子。

清華簡乘數表

收藏在清華大學的清華簡《算表》是世界上最早的十進位乘數表文物^[1]

《清華簡算表》示意圖

參考資料

• 九九表
• 吠陀方形

外部連結

• 黑白（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）或彩色（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）的可打印的表格
• 乘法口訣大師

參考文獻

1. 《自然雜誌》The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）