數學 中,維納過程 (英語:Wiener process )是一種連續時間隨機過程 ,得名於諾伯特·維納 。由於與物理學 中的布朗運動 有密切關係,也常被稱為「布朗運動過程 」或簡稱為布朗運動 。維納過程是萊維過程 (指左極限右連續 的平穩 獨立 增量隨機過程)中最有名的一類,在純數學 、應用數學 、經濟學 與物理學 中都有重要應用。
一維的維納過程的一個路徑
三維的維納過程的一個路徑
維納過程的地位在純數學中與在應用數學中同等重要。在純數學中,維納過程導致了對連續鞅 理論的研究,是刻畫一系列重要的複雜過程的基本工具。它在隨機分析 、擴散過程 和位勢論 領域的研究中是不可或缺的。在應用數學中,維納過程可以描述高斯 白噪聲 的積分形式。在電子工程 中,維納過程是建立噪音的數學模型的重要部分。控制論 中,維納過程可以用來表示不可知因素。
維納過程和物理學中的布朗運動 有密切關係。布朗運動是指懸浮在液體中的花粉微小顆粒所進行的無休止隨機運動。維納運動也可以描述由福克-普朗克方程 和郎之萬方程 確定的其他隨機運動。維納過程構成了量子力學 的嚴謹路徑積分表述 的基礎(根據費曼-卡茨公式 ,薛定諤方程 的解可以用維納過程表示)。金融數學 中,維納過程可以用於描述期權定價模型如布萊克-斯科爾斯模型 。
對任意的正實數
t
{\displaystyle t}
,一維維納過程在
t
{\displaystyle t}
時刻是一個隨機變量,它的概率密度函數 是:
f
W
t
(
x
)
=
1
2
π
t
e
−
x
2
/
2
t
.
{\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/{2t}}.}
這是因為按照維納過程的定義,當
s
=
0
{\displaystyle s=0}
時,可以推出
W
t
{\displaystyle W_{t}}
的分佈:
W
t
=
W
t
−
W
0
∼
N
(
0
,
t
)
.
{\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim {\mathcal {N}}(0,t).}
它的數學期望值是零:
E
(
W
t
)
=
0.
{\displaystyle \mathbb {E} (W_{t})=0.}
它的方差 是
t
{\displaystyle t}
:
Var
(
W
t
)
=
E
(
W
t
2
)
−
E
2
(
W
t
)
=
E
(
W
t
2
)
−
0
=
E
(
W
t
2
)
=
t
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=\mathbb {E} (W_{t}^{2})-\mathbb {E} ^{2}(W_{t})=\mathbb {E} (W_{t}^{2})-0=\mathbb {E} (W_{t}^{2})=t.}
在維納過程的獨立增量定義中,令
t
2
=
t
{\displaystyle t_{2}=t}
,
s
2
=
t
1
=
s
<
t
{\displaystyle s_{2}=t_{1}=s<t}
,
s
1
=
0
{\displaystyle s_{1}=0}
,那麼
W
s
=
W
t
1
−
W
s
1
∼
N
(
0
,
s
)
{\displaystyle W_{s}=W_{t_{1}}-W_{s_{1}}\sim {\mathcal {N}}(0,s)}
和
W
t
−
W
s
=
W
t
2
−
W
s
2
∼
N
(
0
,
t
−
s
)
{\displaystyle W_{t}-W_{s}=W_{t_{2}}-W_{s_{2}}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}
是相互獨立的隨機變量,並且
cov
(
W
s
,
W
t
)
=
E
[
(
W
s
−
E
(
W
s
)
)
⋅
(
W
t
−
E
(
W
t
)
)
]
=
E
(
W
s
⋅
W
t
)
=
E
[
W
s
(
W
t
−
W
s
)
]
+
E
(
W
s
2
)
=
E
(
W
s
)
E
(
W
t
−
W
s
)
+
s
=
s
.
{\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\mathbb {E} \left[(W_{s}-\mathbb {E} (W_{s}))\cdot (W_{t}-\mathbb {E} (W_{t}))\right]=\mathbb {E} (W_{s}\cdot W_{t})=\mathbb {E} [W_{s}\left(W_{t}-W_{s}\right)]+\mathbb {E} (W_{s}^{2})=\mathbb {E} (W_{s})\mathbb {E} \left(W_{t}-W_{s}\right)+s=s\ \ .}
所以兩個不同時刻
0
⩽
s
,
t
{\displaystyle 0\leqslant s,t}
,
W
t
{\displaystyle W_{t}}
與
W
s
{\displaystyle W_{s}}
的協方差 和相關係數 是:
cov
(
W
s
,
W
t
)
=
min
(
s
,
t
)
,
corr
(
W
s
,
W
t
)
=
c
o
v
(
W
s
,
W
t
)
σ
W
s
σ
W
t
=
min
(
s
,
t
)
s
t
=
min
(
s
,
t
)
max
(
s
,
t
)
.
{\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)\,,\qquad \quad \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\mathrm {cov} (W_{s},W_{t}) \over \sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {\min(s,t)}{\max(s,t)}}}\,.}
維納過程中的即時最大值
M
t
=
max
0
≤
s
≤
t
W
s
{\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}
與
W
t
{\displaystyle W_{t}}
的聯合概率分佈是:
f
M
t
,
W
t
(
m
,
w
)
=
2
(
2
m
−
w
)
t
2
π
t
e
−
(
2
m
−
w
)
2
2
t
,
m
≥
0
,
w
≤
m
{\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},m\geq 0,w\leq m}
而即時最大值的分佈
f
M
t
{\displaystyle f_{M_{t}}}
是對
−
∞
<
w
≤
m
{\displaystyle -\infty <w\leq m}
的積分:
f
M
t
(
m
)
=
∫
−
∞
m
f
M
t
,
W
t
(
m
,
w
)
d
w
=
∫
−
∞
m
2
(
2
m
−
w
)
t
2
π
t
e
−
(
2
m
−
w
)
2
2
t
d
w
=
2
π
t
e
−
m
2
2
t
{\displaystyle f_{M_{t}}(m)=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{\frac {-m^{2}}{2t}}}
即時最大值的數學期望值是[ 3] :114 :
E
M
t
=
∫
0
∞
m
f
M
t
(
m
)
d
m
=
∫
0
∞
m
2
π
t
e
−
m
2
2
t
d
m
=
2
t
π
.
{\displaystyle \mathbb {E} M_{t}=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{\frac {-m^{2}}{2t}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}.}
由於維納過程上下對稱,即時最小值顯然是即時最大值的相反數 。
維納過程具有馬可夫性質 ,也就是說,在任意一點之後的走勢僅僅和這一點的取值相關,而與之前的取值無關。也就是說,對任何的有界連續函數
ϕ
{\displaystyle \phi }
,
E
[
ϕ
(
W
s
,
s
⩾
t
)
|
F
t
]
=
E
[
ϕ
(
W
s
,
s
⩾
t
)
|
W
t
]
{\displaystyle \mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant t)|{\mathcal {F}}_{t}]=\mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant t)|W_{t}]}
因此維納過程具有時間平移不變性:隨機過程
(
V
t
)
t
⩾
0
:
V
t
=
W
t
0
+
t
−
W
t
0
{\displaystyle \left(V_{t}\right)_{t\geqslant 0}:\,\,V_{t}=W_{t_{0}+t}-W_{t_{0}}}
也是一個維納過程。不僅如此,維納過程還滿足強馬可夫性質:對任意的有限停時
τ
{\displaystyle \tau }
,隨機變量
B
t
=
W
τ
+
t
−
W
τ
{\displaystyle B_{t}=W_{\tau +t}-W_{\tau }}
獨立於濾波
F
τ
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}
。也就是說,對任何的有界連續函數
ϕ
{\displaystyle \phi }
,
E
[
ϕ
(
W
s
,
s
⩾
τ
)
|
F
τ
]
=
E
[
ϕ
(
W
s
,
s
⩾
τ
)
|
W
τ
]
.
{\displaystyle \mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant \tau )|{\mathcal {F}}_{\tau }]=\mathbb {E} [\phi (W_{s},s\geqslant \tau )|W_{\tau }].}
維納過程的強馬可夫性質,說明即便給定的時間不是定時而是一個停時,維納過程在停時之後的走勢仍然與之前無關。所以,將停時之後的維納過程上下反轉,仍然會是一個維納過程。用數學語言來說,就是:給定一個停時
τ
{\displaystyle \tau }
之後,隨機變量:
B
t
=
W
t
1
t
⩽
τ
+
(
2
W
τ
−
W
t
)
1
t
>
τ
{\displaystyle B_{t}=W_{t}\mathbf {1} _{t\leqslant \tau }+\left(2W_{\tau }-W_{t}\right)\mathbf {1} _{t>\tau }}
也是一個維納過程。這個性質也稱為維納過程的反射原理。
作為推論,可以建立即時最大值
M
t
=
max
0
≤
s
≤
t
W
s
{\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}
與
W
t
{\displaystyle W_{t}}
的另一種關係。設有正實數
a
>
0
{\displaystyle a>0}
停時
τ
a
=
inf
{
t
>
0
,
W
t
>
a
}
{\displaystyle \tau _{a}=\inf\{t>0,\,W_{t}>a\}}
,那麼
{
τ
a
⩽
t
}
=
{
M
t
⩾
a
}
{\displaystyle \{\tau _{a}\leqslant t\}=\{M_{t}\geqslant a\}}
。運用反射原理可以證明,
P
(
M
t
⩾
a
)
=
2
P
(
W
t
⩾
a
)
=
P
(
|
W
t
|
⩾
a
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(M_{t}\geqslant a\right)=2\mathbb {P} \left(W_{t}\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(|W_{t}|\geqslant a\right)}
。更一般地,設有
a
>
b
⩾
0
{\displaystyle a>b\geqslant 0}
,則
P
(
W
t
⩽
b
,
M
t
⩾
a
)
=
P
(
W
t
⩾
2
a
−
b
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(W_{t}\leqslant b,\,M_{t}\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(W_{t}\geqslant 2a-b\right)}
。