隨機分析(stochastic calculus)是對隨機過程進行運算的概率論分支,主要內容有伊藤積分、隨機微分方程(又包括隨機偏微分方程和倒向隨機微分方程)等等。
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隨機性模型是指含有隨機成份的模型。與確定性模型的不同可以很好地用以下例子解釋:在賭場裏賭大小,如果有人認為三次連開大第四次必然開小,那麼此人所用的既是確定性模型。但是常識告訴我們第四次的結果並不一定與之前的結果相關聯。在19世紀科學界深深地被黑天鵝效應和卡爾·波普爾的批判理性主義所影響。所以現代自然科學都以統計與歸納法作為理論基礎。大體說統計學是適用確定性模型與隨機性模型作比較的一門學科。
應用隨機分析的最知名的隨機過程是維納過程(得名於諾伯特·維納),用於模擬Louis Bachelier(1900)和愛因斯坦(1905)描述的布朗運動及受隨機力作用的粒子在空間的其他擴散過程。1970年代以來,維納過程被廣泛用於金融數學和經濟學中,以模擬股價和債券利率隨時間演化的過程。
隨機分析的主要形式是伊藤積分及其變分法相對的馬利阿溫積分。由於技術原因,伊藤積分對一般過程最有用,但相關的隨機積分在問題的表述(尤其是工科)中也經常有用。隨機積分可以很容易地轉化為伊藤積分,反之亦然。隨機積分的主要優點是遵循通常的鏈式法則,不需要伊藤引理,使問題可以用不變坐標系表達,這對於在Rn以外的流形上發展隨機分析非常重要。 但是,隨機積分不遵循控制收斂定理;因此,若不以伊藤形式重新表達積分,就很難證明結果。
伊藤積分
隨機積分
半鞅對另一個半鞅Y 的隨機積分,或Fisk–Stratonovich積分可用伊藤積分表示為
其中[X, Y]tc表示X、Y的連續部分的二次協方差。代替的寫法是
也用於表示隨機積分。
參看
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