線性非時變系統理論

線性非時變系統理論俗稱LTI系統理論，源自應用數學，有在核磁共振頻譜學、地震學、電路、信號處理和控制理論等技術領域的直接運用。該理論研究的是線性的非時變系統對任意輸入信號的響應。

LTI系統通常僅關注系統在時間軸上的行為，但是類似的理論也可以擴展到空間維度。例如應用到圖像處理和場論時，系統的輸入也可在空間維度上變化。如果系統具有類似LTI的行為，則這類系統也被稱為線性平移不變系統。在離散（即採樣）系統中，對應的術語是線性時平移不變系統。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個常見例子。^[1]

概述

顧名思義，線性非時變系統必須同時滿足線性和非時變性：

• 線性，指系統的輸入和輸出之間的關係是一個線性映射：如果輸入${\displaystyle x_{1}(t)\,}$產生響應${\displaystyle y_{1}(t)\,}$，而輸入${\displaystyle x_{2}(t)\,}$產生響應${\displaystyle y_{2}(t)\,}$，那麼放縮和加和輸入${\displaystyle a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\,}$產生放縮、加和的響應${\displaystyle a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)\,}$，其中${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle a_{2}}$為實純量。此性質可以拓展到任意項，於是對於實數${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}}$，

輸入${\displaystyle \sum _{k}c_{k}\,x_{k}(t)}$產生輸出${\displaystyle \sum _{k}c_{k}\,y_{k}(t).\,}$

特別地，

輸入${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,x_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega }$產生輸出${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,y_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega \,}$

Eq.1

其中，${\displaystyle c_{\omega }}$和${\displaystyle x_{\omega }}$是純量，而輸入在序號為${\displaystyle \omega }$的連續統內變化。因此，如果輸入函數可以由一個連續統的輸入函數像上面展示的那樣，「線性」組合而成，則對應的輸出函數，可以通過相應連續統的輸出函數以相同的方式縮放和求和得到。

• 非時變性，指如果將系統的輸入信號延遲${\displaystyle \tau }$秒而得到的輸出，除了這${\displaystyle \tau }$秒延時以外，是完全相同的，則稱這樣的系統是「非時變」的。即對於具有非時變性的系統，若系統輸入${\displaystyle x(t)}$，對應的輸出為${\displaystyle y(t)}$，則輸入為${\displaystyle x(t+\tau )}$時，系統的輸出為${\displaystyle y(t+\tau )}$。

LTI系統的理論的基本結論是任何LTI系統都可以完全用一個單一方程來表示，該方程稱為系統的衝激響應。系統的輸出可以簡單表示為輸入信號與系統的衝激響應的卷積。這種分析方法通常稱為時域觀點。相同的結果對於離散時間線性移位不變系統也成立，其中信號為離散時間取樣信號，並且卷積對序列定義。

時域和頻域之間的關係

同理，任何LTI系統的特徵可由頻域的系統傳遞函數刻畫，它是系統衝激響應的拉普拉斯變換（在離散時間系統的情況下為Z變換）。由於這些變換的性質，該系統在頻域的輸出是傳遞函數與輸入的變換的乘積。換句話說，時域中的卷積相當於頻域中的乘法。

對於所有的LTI系統中，本徵函數和所用變換的基函數，是復指數函數。這即是說，如果一個系統的輸入是復波形${\displaystyle Ae^{st}}$，復振幅為${\displaystyle A}$，復頻率為${\displaystyle s}$，輸出將是輸入的復常數倍，表示為新復振幅${\displaystyle B}$的式子${\displaystyle Be^{st}}$。比值${\displaystyle B/A}$是頻率${\displaystyle s}$的傳遞函數。

因為是正弦的復指數與復共軛頻率的總和，如果輸入到該系統是一個正弦波，則系統的輸出也將是一個正弦波。輸出的正弦波可以具有不同振幅和不同相位，但是輸出的穩態頻率一定與輸入相同。LTI系統不能產生頻率成分中沒有的輸入。

LTI系統理論適用於描述許多重要的系統。相對於時間變化的和/或非線性的系統，LTI系統通常是「容易」分析的。任何可以被模擬為常係數線性齊次微分方程系統都是LTI系統。由電阻器，電感和電容器組成的電路（RLC電路）是這類系統的一個常見實例。理想的彈簧 - 質量 - 阻尼系統也是LTI系統，並且在數學上與某個RLC電路等效。

LTI系統概念都是連續時間和離散時間（線性移位不變）的情況下相似。在圖像處理中，時間變量被替換為2空間變量，時間不變性的概念被替換為二維移不變性。當分析濾波器組s和MIMO系統中，常常是有用考慮的信號向量。

線性系統不是非時變可以用其他方法來解決，如格林函數方法。同樣的方法時，必須使用問題的初始條件是不為空。

連續時間系統

衝激響應和卷積

輸入信號為x(t)，輸出信號為y(t)的線性非時變系統的行為可以用卷積積分描述：^[2]

${\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)\,}$	${\displaystyle {}\quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau }$
	${\displaystyle {}\quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau ,}$（使用交換律）

其中${\displaystyle \textstyle h(t)}$為當輸入信號${\displaystyle \textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$時系統的衝激響應。因此${\displaystyle \textstyle y(t)}$與輸入函數${\displaystyle \textstyle x(\tau )}$的加權平均成正比。權重函數為${\displaystyle \textstyle h(-\tau )}$，就是平移了${\displaystyle \textstyle t}$的量。隨着${\displaystyle \textstyle t}$改變，權重函數會突出輸入函數的不同部分。當對所有非負${\displaystyle \textstyle \tau }$，${\displaystyle \textstyle h(\tau )}$均為零時，${\displaystyle \textstyle y(t)}$只由時間${\displaystyle \textstyle t}$之前的${\displaystyle \textstyle x}$值決定，而系統稱為因果系統。

要理解為何LTI系統的輸出可以用卷積產生，就令記號${\displaystyle \textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$表示變量${\displaystyle \textstyle u}$和常量${\displaystyle \textstyle \tau }$的函數${\displaystyle \textstyle x(u-\tau )}$。用簡潔的記號${\displaystyle \textstyle \{x\}\,}$表示${\displaystyle \textstyle \{x(u);\ u\}}$。那麼就會有一個從輸入函數${\displaystyle \textstyle \{x\},}$轉換到${\displaystyle \textstyle \{y\}}$的連續時間系統。在一般情況下，輸出的每一個值可以對應輸入的每一個值。這個概念表示為：

${\displaystyle y(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{x\},}$

其中${\displaystyle \textstyle O_{t}}$為對時間${\displaystyle \textstyle t}$的變換算子。在典型的系統中，${\displaystyle \textstyle y(t)}$很大程度上取決於${\displaystyle \textstyle t}$臨近時間的${\displaystyle \textstyle x}$的值。除非變換本身隨着${\displaystyle \textstyle t}$變化，否則輸出函數就是常數，系統也沒有意義。

對一個線性系統，${\displaystyle \textstyle O}$必須滿足Eq.1：

${\displaystyle O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\operatorname {d} \tau ;\ u\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\operatorname {d} \tau .\,}$

Eq.2

而非時變系統的要求是：

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y(t-\tau )\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

Eq.3

在這種記號下，我們可以把衝激響應寫成${\displaystyle \textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}}$。

同樣：

${\displaystyle h(t-\tau )\,}$	${\displaystyle {}{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle {}=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.\,}$（使用Eq.3）

將此結果代入卷積積分：

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)*h(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\operatorname {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$

該形式為${\displaystyle \textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$且${\displaystyle \textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau )}$情形下Eq.2等式右側的形式。
那麼Eq.2允許這個延拓：

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)*h(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\operatorname {d} \tau ;\ u\right\}\\&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ y(t).\,\end{aligned}}}$

綜上所述，輸入函數${\displaystyle \textstyle \{x\}}$可以用Eq.1中描述的時移衝激函數的連續統的「線性」組合來表示。系統的線性特性允許系統由相應的以相同方式組合的衝激響應的連續統來表示系統的響應。而非時變特性允許用卷積積分來表示這種組合。

上述數學運算可以用一個簡單的圖形模擬。^[3]

指數函數作為本徵函數

本徵函數是算子輸出為經過放縮的相同函數的函數。即，

${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}$,

其中f是本徵函數而${\displaystyle \lambda }$是特徵值（一個常數）。

指數函數${\displaystyle Ae^{st}}$（其中${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$）是線性非時變算子的本徵函數。可以用一個簡單的證明來說明這個概念。假設輸入是${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$。系統衝激響應${\displaystyle h(t)}$的輸出就是

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau }$

由卷積的交換性質，上式等價於

${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\operatorname {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau &=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\end{aligned}}}$

其中純量

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

只與參數s有關。

因此，系統的響應是一個縮放的輸入。特別地，對任意I ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$，系統輸出為輸入${\displaystyle Ae^{st}}$和常量${\displaystyle H(s)}$的乘積。因此，${\displaystyle Ae^{st}}$是LTI系統的本徵函數，對應的特徵向量為${\displaystyle H(s)}$。

直接證明

也可以用復指數直接導出LTI系統的本徵函數。

我們令${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$為某復指數，${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$為它的時移版本。

對常數${\displaystyle e^{i\omega a}}$由線性得${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$。

由${\displaystyle H}$的非時變性有${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$。

所以${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$。令${\displaystyle t=0}$並重新命名就得到：

${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$

即復指數${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$作為輸入，將得到一個相同頻率的復指數作為輸出。

傅里葉與拉普拉斯變換

本徵函數的指數函數性質對分析和了解LTI系統都是很有用處的。拉普拉斯變換

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

就是從衝激響應得到特徵值的方法。純正弦（即形式為${\displaystyle e^{j\omega t}}$的指數函數，其中${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$，${\displaystyle j\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {-1}}}$）尤其要關注。通常稱這些為復指數，即使參數為純虛數。傅里葉變換${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$給出了純復正弦的特徵值。${\displaystyle H(s)}$與${\displaystyle H(j\omega )}$都可以稱作系統函數、系統響應或傳遞函數。

拉普拉斯變換通常用於單邊信號的背景下，即t小於某個值時信號的所有值為零。通常，「起始時間」設置為零，為方便起見，不失一般性，變換都從零到無窮積分（上述變換的下限為負無窮的積分稱作雙邊拉普拉斯變換）。

傅里葉變換是用來分析系統處理無窮限信號的，如調製的正弦信號，即使它不能直接應用在非平方可積（英語：square integrable）的輸入與輸出信號上。拉普拉斯變換實際在這些信號初始時間之前全為零的信號可以直接使用，即便他們不是平方可積的，比如平穩系統。傅里葉變換通常通過維納－辛欽定理用在無窮信號光譜上，即使在信號的傅里葉變換不存在的時候。

由於這兩種變換的卷積性質，在變換存在的條件下，能夠給出系統輸出的卷積可以轉換為變換域的乘積

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}}$。

計算變換、乘積和反變換不僅比原始的卷積容易，而且還能從系統響應了解系統的行為。可以觀察系統函數 |H(s)| 的模來看出輸入${\displaystyle \exp({st})}$是否能夠通過這個系統或被此系統拒絕或削弱（不通）。

例子

• 一個線性非時變算子的簡單實例是導數。
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$（即，它是線性的）
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$（即，它是非時變的）

取導數的拉普拉斯變換，得到一個簡單的與拉普拉斯變換變量s的乘積。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$

導數的拉普拉斯變換如此簡單一定程度上說明了拉普拉斯變換的用途。

• 另外一個簡單的線性非時變算子是平均算子

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda }$。

因為積分是線性的所以它也是線性的

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}\left(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda )\right)\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}(t)\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}(t)\right\},\end{aligned}}}$

此外，它也是非時變的

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\operatorname {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\operatorname {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$

實際上，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$可以寫成與矩形脈衝函數（英語：boxcar function） ${\displaystyle \Pi (t)}$的卷積。

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda ,}$

其中矩形脈衝函數是

${\displaystyle \Pi (t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$

重要的系統特性

因果性和穩定性是描述系統的兩個重要性質。如果獨立變量是時間，那麼因果性是必須的，但並不是所有系統的獨立變量都是時間。例如，一個處理靜止圖像的系統不需要具備因果性。非因果系統可以建立，並可以在許多情況下發揮作用。即使是非實數系統也可以構建，並且在很多場合也是非常有用的。

因果性

主條目：因果系統

如果系統輸出只與當前以及過去的輸入有關，那麼該系統就是因果系統。因果性的充分必要條件是

${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$

其中${\displaystyle h(t)}$是衝激響應。由於拉普拉斯變換的逆變換不唯一，所以通常不能根據拉普拉斯變換確定系統的因果性。只有在確定了系統的收斂域之後才能確定該系統的因果性。

穩定性

主條目：有界輸入有界輸出穩定性

如果系統對每個有界輸入來說輸出都是有界的，那麼系統就是有界輸入有界輸出穩定的（BIBO穩定），用數學方法表示就是如果每個輸入滿足

${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$

就會導致輸出滿足

${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$

（也就是說${\displaystyle x(t)}$的最大絕對值（英語：Infinity norm）是有界的意味着${\displaystyle y(t)}$的最大絕對值也是有界的），那麼系統就是穩定的。系統穩定的充分必要條件是衝激響應${\displaystyle h(t)}$是在L¹中（其L¹範數有限）的：

${\displaystyle \ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\operatorname {d} t<\infty }$。

在頻域中，收斂域必須包含虛軸${\displaystyle s=j\omega }$。

作為一個例子，衝激響應等於Sinc函數的理想低通濾波器不是BIBO穩定的，因為Sinc函數不具有有限的L¹範數。因此，對於一些有界輸入，理想低通濾波器的輸出是無界的。特別地，若對${\displaystyle t<0\,}$的輸入為零，並且在${\displaystyle t>0\,}$時等於正弦信號的截止頻率，則在非過零時刻輸出是無界的。

離散時間系統

幾乎所有的連續時間系統都能找到與之對應的離散時間系統。

連續時間系統中的離散時間系統

在許多情況下，離散時間（DT）系統實際上是較大的連續時間（CT）系統的一部分。例如，數字錄音系統記錄模擬聲音、數碼化、或許對數碼訊號進行處理、然後重放模擬信號。

正式場合下所研究的離散時間信號幾乎總是連續時間信號的均勻採樣。如果${\displaystyle x(t)}$是一個連續時間信號，那麼模數轉換器將把它轉換成離散時間信號${\displaystyle x[n]}$，

${\displaystyle x[n]=x(nT)}$,

其中T是採樣周期。為了保證離散信號能夠忠實地表示輸入信號，非常重要的一點就是需要限制輸入信號的頻率範圍。根據採樣定理，離散時間信號所包括的最大頻率範圍是${\displaystyle 1/(2T)}$。其它頻率都成為這個範圍的混疊信號。

非時變和線性變換

我們從一個衝激響應是二維函數的時變系統開始來看看非時變這個條件是如何將系統降到一維的。例如，假設輸入信號是 ${\displaystyle x[n]}$，其中n是整數，即${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$。線性算子${\displaystyle {\mathcal {H}}}$表示系統在輸入信號上的操作，對於這個index set來說合適的算子是一個二維函數

${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]{\mbox{ where }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }$。

由於${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是一個線性算子，系統在輸入信號${\displaystyle x[n]}$上的作用就是下面累加和所表示的線性變換

${\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1},n_{2}]\,x[n_{2}],}$

如果線性算子${\displaystyle {\mathcal {H}}}$也是非時變的，那麼

${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}+m,n_{2}+m]\qquad \forall \,m\in \mathbb {Z} }$。

如果取

${\displaystyle m=-n_{2},\,}$

那麼

${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}-n_{2},0].\,}$

為了簡化通常我們丟棄${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]}$的第二個參數零，這樣重疊積分現在變成了濾波中常見的卷積和

${\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}]}$。

這樣，卷積和表示一個線性非時變系統在任意輸入函數上所起的作用，對於類似的有限維參數，參見輪換矩陣

衝激響應

如果我們給系統輸入一個離散δ函數，由於δ函數是一個理想的脈衝，所以系統的線性非時變變換就是衝激響應。我們用下式表示：

${\displaystyle (h*\delta )[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,\delta [m]=h[n],}$

（通過δ函數的 sifting特性）。

注意

${\displaystyle h[n]=h[n_{1}-n_{2},0]\,\!{\mbox{ where }}n=n_{1}-n_{2},}$

這樣${\displaystyle h[n]}$就是系統的衝激響應。

這個衝激響應可以按照下面的方法用於得到任意輸入信號的響應。再次應用${\displaystyle \delta [n]}$的過濾特性，我們將輸入信號寫成δ的累加和：

${\displaystyle x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}$。

輸入經過系統變換，

${\displaystyle {\mathcal {H}}x[n]={\mathcal {H}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}$

${\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x[m]\delta [n-m]}$（${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是線性的所以可以在和之間傳遞）

${\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n]{\mathcal {H}}\delta [n-m]}$（${\displaystyle x[m]}$在n中是常量並且${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是線性的）

${\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]}$（根據${\displaystyle h[n]}$的定義）

系統的所有信息都包含在衝激響應${\displaystyle h[n]}$中。

Z變換與離散時間傅里葉變換

例子

一個簡單的線性非時變算子的實例是延時算子${\displaystyle D\{x\}[n]:=x[n-1]}$。

${\displaystyle D\left(c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right)=c_{1}x_{1}[n-1]+c_{2}x_{2}[n-1]=c_{1}Dx_{1}[n]+c_{2}Dx_{2}[n],}$

${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m].\,}$

導數取Z變換，就變成一個簡單的與Z相乘：

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=zX(z)}$。

差分的Z變幻如此簡單也在一定程度上表明了Z變換的用途。

另外一個簡單的線性非時變算子是平均算子

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k]}$.

由於和是線性的所以它也是線性的：

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)}$

${\displaystyle =c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]}$

${\displaystyle =c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\}}$.

它也是非時變的：

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]}$

${\displaystyle =\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']}$

${\displaystyle ={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m]}$.

重要的系統特性

因果性和穩定性是系統的重要特性。與連續時間系統不同，我們可以實現非因果的離散時間系統。通過在系統中加入延時就很容易將非因果有限衝激響應系統變成因果系統。甚至可以構建非因果的無限衝激響應系統（參見Vaidyanathan and Chen, 1995）。我們也可以構建不穩定的系統，這種系統在很多場合都很有用，甚至也可以構建在很多情況下非常有用的non-real系統。

因果性

主條目：因果系統

如果系統的輸出只與當前以及過去的輸入有關，那麼系統就是因果系統。因果性的必要且充分條件是

${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$

其中${\displaystyle h[n]}$是衝激響應。由於逆變換不是唯一的，所以通常很難從Z變換確定系統的因果性。如果收斂域確定，系統的因果性也就隨之確定。

穩定性

主條目：有界輸入輸出穩定

如果離散系統每個有界的輸入，輸出都是有界的那麼系統就是有界輸入輸出穩定（BIBO穩定）。用數學方法表示就是

${\displaystyle ||x[n]||_{\infty }<\infty }$

並且

${\displaystyle ||y[n]||_{\infty }<\infty }$

（也就是說${\displaystyle x[n]}$和${\displaystyle y[n]}$的最大絕對值都是有限的），那麼系統就是穩定的。必要且充分條件就是衝激響應${\displaystyle h[n]}$滿足

${\displaystyle ||h[n]||_{1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty }$。

在頻域中，收斂域必須包含單位圓${\displaystyle |z|=1}$。

參見

• 輪換矩陣
• 頻率響應
• 衝激響應
• 系統分析
• 傳遞函數

腳註

1. Hespanha 2009, p. 78.
2. Crutchfield, p. 1. Welcome!
3. Crutchfield, p. 1. Exercises

參考資料

• Hespanha,J.P. Linear System Theory. Princeton university press. 2009. ISBN 0-691-14021-9.