線性化重力

線性化重力（英語：Linearized gravity）是廣義相對論中一個近似方案，其忽略時空度規張量的非線性貢獻。這使得許多研究問題得以簡化。

方法

線性化重力中，時空度規張量${\displaystyle g}$處理為愛因斯坦場方程式的一個解（通常是閔可夫斯基時空）與一微擾項${\displaystyle h}$兩者之和：

${\displaystyle g\,=\eta +h}$

其中η是非動態的背景度規，而被微擾了${\displaystyle h}$——代表真實度規g自平直時空η偏移了多少。

微擾項的處理是採用微擾理論的方法。形容詞「線性化」表示對h作展開式，超過1次方（線性項）以上的微擾項（h的二次方項、h的三次方項等等……）被忽略。

線性化重力下的愛因斯坦重力場方程式[1]

已知 $${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$$

因此，克里斯托費爾符號可以被寫為

$${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\eta ^{\alpha \delta }(\partial _{\beta }h_{\delta \gamma }+\partial _{\gamma }h_{\beta \delta }-\partial _{\delta }h_{\beta \gamma })+{\mathcal {O}}(|h|)}$$

由於黎曼曲率張量可以被表達成

$${\displaystyle R_{bcd}^{a}=\partial _{c}\Gamma _{bd}^{a}-\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\Gamma _{cm}^{a}\Gamma _{bd}^{m}-\Gamma _{dm}^{a}\Gamma _{bc}^{m}}$$

因此，里奇曲率張量可被寫為

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mu \nu }&=\partial _{\alpha }\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \alpha }^{\alpha }\\&={\frac {1}{2}}\{h_{\ \nu ,\mu \alpha }^{\alpha }+h_{\ \mu ,\nu \alpha }^{\alpha }-h_{\mu \nu ,\alpha }^{\ \ \ \ \ \alpha }-h_{\ \alpha ,\mu \nu }^{\alpha }-h_{\ \mu ,\alpha \nu }^{\alpha }+h_{\mu \alpha ,\nu }^{\ \ \ \ \ \alpha }\}\end{aligned}}}$$

因此，愛因斯坦張量 與愛因斯坦重力場方程式可被寫為

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\mu \nu }&=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R\\&={\frac {1}{2}}\{\partial _{\mu }\partial _{\alpha }h_{\ \nu }^{\alpha }+\partial _{\nu }\partial _{\alpha }h_{\ \mu }^{\alpha }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h_{\mu \nu }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h\}-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }(\partial _{\alpha }\partial _{\beta }h^{\alpha \beta }-\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }h)\\&=8\pi T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$$

若選擇適當的規範，線性化重力場的愛因斯坦場方程式可以被寫為一個二階的波方程式。

1. Misner, Charles; Thorne, Kip; Wheeler, John. Gravitation. Princeton University Press. 2017 [2024-05-11]. ISBN 9780691177793. （原始內容存檔於2024-02-27）.