秩 (群)

在數學的群論中，一個群G的秩rank(G)，是G的各個生成集合中最小的勢，也就是

${\displaystyle \operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.}$

若G是有限生成群，則G的秩是非負整數。

群的秩這個群論概念，類似於向量空間的維數。事實上，如果P是p-群，那麼群P的秩，等於向量空間P/Φ(P)的維數，其中Φ(P)是P的弗拉蒂尼子群。

例子

• 對非平凡群G，rank(G)=1當且僅當G是循環群。
• 對自由阿貝爾群${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$，有${\displaystyle {\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n}$。
• 若G是有限非阿貝爾單群，則rank(G) = 2。這是從有限單群分類得出的結果。
• 若G是有限生成群，Φ(G) ≤ G是G的弗拉蒂尼子群（Φ(G)一定是G的正規子群，故此商群G/Φ(G)可定義），則rank(G) = rank(G/Φ(G))。^[1]
• 若${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle }$是單關係元群，r不是自由群F(x₁,..., x_n)的本原元，即r不在F(x₁,..., x_n)的某個自由基之內，則rank(G) = n。^[2][3]

參考

1. D. J. S. Robinson. A course in the theory of groups, 2nd edn, Graduate Texts in Mathematics 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN 0-387-94461-3
2. Wilhelm Magnus, Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen, Monatshefte für Mathematik, vol. 47(1939), pp. 307–313.
3. Roger C. Lyndon and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Proposition 5.11, p. 107

參見

• 阿貝爾群的秩