環繞數

在數學中，環繞數（linking number）是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上，環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數，但有可能取正數或負數，取決於這兩條曲線的定向。

這樣 (2,4)-環面鏈環的兩條曲線的環繞數是 4。

環繞數由高斯以環繞積分的形式引入。它在紐結理論、代數拓撲和微分幾何的研究中是重要的對象，並在數學和科學中有許多應用，包括量子力學、電磁學以及 DNA超螺旋的研究。

定義

空間中任何兩條閉曲線都恰好可以移動成如下標準位置之一。這決定了環繞數：

${\displaystyle \cdots }$
	環繞數 -2	環繞數 -1	環繞數 0
					${\displaystyle \cdots }$
		環繞數 1	環繞數 2	環繞數 3

每條曲線在移動過程中可以穿過自身，但這兩條曲線保持互相分離。

計算環繞數

六個正交叉與兩個負交叉，這兩條曲線的環繞數為 2。

存在一個算法計算出一個鏈環圖表的環繞數。按如下法則將每個交叉標記為「正」或「負」 ^[1]：

正交叉數總數減去負交叉數總數等於環繞數的兩倍，即

環繞數${\displaystyle ={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}},\,}$

這裏 n₁, n₂, n₃, n₄ 分別表示四類交叉數的個數。兩個和 ${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$ 與 ${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$ 總相等^[2]。這樣得到了如下另外的公式

環繞數${\displaystyle =\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.\,}$

注意到 ${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$ 只涉及到藍曲線被紅曲線下交叉，而 ${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$ 只涉及到上交叉。

性質與例子

懷特黑德鏈環兩條曲線環繞數為零。

• 任何兩條沒有連結起來的曲線相交數為零。但環繞數為零的兩條曲線仍可能是連結起來的（例如右圖的懷特黑德鏈環（英語：Whitehead link））。
• 逆轉任何一條曲線的定向，環繞數改變符號；但兩條曲線同時逆轉定向，環繞數不變。
• 環繞數具有手征性：取一個鏈環的鏡像，環繞數改變符號。我們對正環繞數的約定基於右手法則。
• x-y 平面上一條定向曲線的卷繞數等於它與 z-軸（將 z-軸想像為三維球面中一條閉曲線）的環繞數。
• 更一般地，如果其中一條曲線是簡單的，則這個分支的第一同調群同構於整數 Z。在此情形，環繞數由另一條曲線的同調類決定。
• 在物理學中，環繞數是拓撲量子數之一例，它與量子糾纏有關。

高斯的積分定義

給定兩條不交可微曲線 ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$，定義從環面到單位球面高斯映射 ${\displaystyle \Gamma }$ 為

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.\,}$

取單位球面上一點 v，從而鏈環的正交投影到垂直於 v 的平面給出一個鏈環圖表。觀察到點 (s, t) 在高斯映射下映為 v 對應於鏈環圖表中一個交叉，這裏 ${\displaystyle \gamma _{1}}$ 在 ${\displaystyle \gamma _{2}}$ 上。並且 (s, t) 的一個鄰域在高斯映射下映為 v 的一個鄰域，保持或逆轉定向取決於交叉的符號。從而為了計算這個對應於 v 的鏈環圖表的環繞數，只需數高斯映射覆蓋 v 的帶符號次數。由於 v 是一個正則值，這恰是高斯映射的度數（即 Γ 的像蓋住球面的帶符號次數）。環繞數的同痕不變性自動由度數在同倫下不變得到。任何其它正則值將得到相同的數，所以環繞數與任何特定的鏈環圖表無關。

曲線 γ₁ 與 γ₂ 的環繞數的這種表述給出了用二重線積分表示的一個明確公式，即高斯環繞積分：

環繞數${\displaystyle {}\,=\,\phi (\gamma _{1},\gamma _{2})={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}).}$

這個積分求出了高斯映射像的全部帶符號面積（被積函數是 Γ 的雅可比矩陣），然後除以球面的面積（等於 4π）。

推廣

• 就像三維中環繞的閉曲線，任何兩個維數為 m 與 n 的閉流形，可能在 ${\displaystyle m+n+1}$ 維歐幾里得空間中環繞起來。任何這樣鏈環有一個相伴的高斯映射，其度數是環繞數的推廣。
• 任何標架紐結（英語：framed knot）有一個自環繞數，得自計算紐結 C 與將曲線 C 中的點沿着標架向量稍微移動得到一條新曲線的環繞數。由鉛直移動（沿着黑板標架）得到的自環繞數稱為考夫曼自環繞數（Kauffman's self-linking number）。

量子場論

U(1) 陳-西蒙斯理論是：

${\displaystyle CS={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}AdA}$

若${\displaystyle M=R^{3}}$，路徑積分是

${\displaystyle Z(C_{1},C_{2})=\int dA\exp {(iCS+i\int _{C_{1}}A+i\int _{C_{2}}A)}=\int dA\exp {(iCS+i\int JA)}}$，

包括C1和C2的威爾森迴圈。J=J1+J2，而且

${\displaystyle J_{i}^{a}=\int _{C_{i}}dx^{a}\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

因為這是高斯的積分，所以我們不需要重整化或正規化。再說這個積分是拓撲不變。

若J是經典方程就是

${\displaystyle dA=(2\pi /k)*J}$

或

${\displaystyle \nabla \times A=2\pi J/k}$

若我們選洛倫茨規範${\displaystyle d*A=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}A=-2\pi \nabla \times J/k}$

從電磁學，解是

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{2k}}\int d^{3}y{\frac {\nabla \times J(y)}{|x-y|}}}$

則

${\displaystyle Z[C_{1},C_{2}]=\exp(2\pi i\phi (C_{1},C_{2})/k)}$

這是最簡單的一個拓撲量子場論。根據愛德華·威滕的證明，非阿貝爾G的陳-西蒙斯論給其他拓撲不變，例如瓊斯多項式。

另見

• 陳-西蒙斯理論
• 卷繞數
• 絞擰數
• 扭轉數
• 曲線的微分幾何
• 鏈環 (紐結理論)（英語：Link (knot theory)）
• 霍普夫不變量
• 吻接數（英語：kissing number）

註釋

1. 這與計算一個紐結的絞擰數時使用的標記是一致的，不過此情形我們只需標記涉及兩條曲線的交叉。
2. 如果其中一條曲線是簡單的，這由若爾當曲線定理得到。例如，如果藍曲線是簡單的，則 n₁ + n₃ 與 n₂ + n₄ 表示紅曲線向內與向外穿過藍曲線所圍區域的次數。

參考文獻

• A.V. Chernavskii, Linking coefficient, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• -, Writhing number, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4