同調

數學上（特別是代數拓撲和抽象代數），同調 （homology，在希臘語中homos = 同）是一類將一個可換群或者模的序列和特定數學物件（例如拓撲空間或者群）聯繫起來的過程。背景知識請參看同調論。

對於一個特定的拓撲空間，同調群通常比同倫群要容易計算得多，因此通常來講用同調來輔助空間分類要容易處理一些。

同調群的構造

其過程如下：給定物件${\displaystyle X}$，首先定義鏈複形，它包含了${\displaystyle X}$的資訊。一個鏈複形是一個由群同態聯繫起來的可換群或者模${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots }$的序列，群同態${\displaystyle d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}}$滿足任何兩個相連的同態的複合為0: ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$對於所有${\displaystyle n}$成立。這意味着第${\displaystyle n+1}$個映射的像包含在第${\displaystyle n}$個映射的核中，我們定義${\displaystyle X}$的${\displaystyle n}$階同調群為商群（商模）

${\displaystyle H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).}$

鏈複形稱為正合的，如果（${\displaystyle n+1}$）階映射的像總是等於${\displaystyle n}$階映射的核。因此${\displaystyle X}$的同調群是衡量${\displaystyle X}$所關聯的鏈複形離正合有「多遠」的障礙。

非正式的例子

非正式地，拓撲空間X的同調是X的拓撲不變量的集合，用其同調群來表示

${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$

其中第${\displaystyle k}$個同調群${\displaystyle H_{k}(X)}$描繪了${\displaystyle X}$中的${\displaystyle k}$維圈 (cycle)，實現為${\displaystyle k+1}$維圓盤邊界 (boundary) 的障礙。0維同調群刻畫了兩個零維圈，也即點，實現成一維圓盤，也即線段的邊界的障礙，因此${\displaystyle H_{0}(X)}$刻畫了${\displaystyle X}$中的路徑連通分支。^[1]

圓，或稱為1維球面${\displaystyle S^{1}}$

一維球面 ${\displaystyle S^{1}}$是一個圓。它有一個連通分支和一個一維圈，但沒有更高維圈。其對應的同調群由下式給出

${\displaystyle H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\neq 0,1\end{cases}}}$

其中${\displaystyle \mathbb {Z} }$表示整數加群，${\displaystyle 0}$表示平凡群。${\displaystyle H_{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} }$表示${\displaystyle S^{1}}$的一階同調群為由一個元素生成的有限生成阿貝爾群，其唯一的生成元表示圓中包含的一維圈。^[2]

2維球面${\displaystyle S^{2}}$即球的球殼，不包括球的內部。

二維球面${\displaystyle S^{2}}$有一個連通分支，零個一維圈，一個二維圈（即球面），無更高維的圈，其對應的同調群為^[2]

${\displaystyle H_{k}(S^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\0&k\neq 0,2\end{cases}}}$

一般地，對${\displaystyle n}$維球面${\displaystyle S^{n}}$，其同調群為

${\displaystyle H_{k}(S^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}}$

實心圓盤，即2維球${\displaystyle B^{2}}$

二維實心球${\displaystyle B^{2}}$有一個路徑連通分支，但與圓不同的是，${\displaystyle B^{2}}$沒有一維或更高維的圈，其對應的同調群除了零階同調群${\displaystyle H_{0}(B^{2})\cong \mathbb {Z} }$以外，其餘階的同調群均為平凡群。

環面${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

環面被定義為兩個圓${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$的笛卡爾積。環面有一個路徑連通分支，兩個獨立的一維圈（在圖中以紅圈和藍圈分別標出），以及一個二維圈（環面的內部）。其對應的同調群為^[3]

${\displaystyle H_{k}(T^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 3\end{cases}}}$

兩個獨立的一維圈組成了一組有限生成阿貝爾群的獨立生成元，表示為笛卡爾積群${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

例子

引入同調的概念可以用單體複形${\displaystyle X}$的單純同調：設${\displaystyle C_{n}}$為${\displaystyle X}$中的${\displaystyle n}$維可定向單體生成的自由交換群或者模，映射${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\rightarrow C_{n+1}}$映射稱為邊緣映射 (boundary map)，它將${\displaystyle n}$維單體

${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}$

映射為如下交錯和

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |_{[e_{0},\ldots ,e_{i-1},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]}.}$

，其中${\displaystyle \sigma |_{[e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}]}}$表示${\displaystyle \sigma }$限制在${\displaystyle e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}}$對應的面 (face)上。如果我們將模取在一個域上，則${\displaystyle X}$的${\displaystyle n}$階同調的維數就是${\displaystyle X}$中${\displaystyle n}$維圈的個數。

仿照單純同調群，可以定義任何拓撲空間${\displaystyle X}$的奇異同調群。我們定義${\displaystyle X}$的餘調的鏈複形中的空間為${\displaystyle A_{n}}$為自由交換群（或者自由模），其生成元為所有從${\displaystyle n}$為單體到${\displaystyle X}$的連續函數。同態${\displaystyle d_{n}}$從單體的邊緣映射得到。

同調代數中，同調用於定義導來函子，例如，Tor函子。這裏，我們可以從某個可加協變函子${\displaystyle F}$和某個模${\displaystyle X}$開始。${\displaystyle X}$的鏈複形定義如下：首先找到一個自由模${\displaystyle F_{1}}$和一個滿同態${\displaystyle p_{1}:F_{1}\rightarrow X}$。然後找到一個自由模${\displaystyle F_{2}}$和一個滿同態${\displaystyle p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})}$。以該方式繼續，得到一個自由模${\displaystyle F_{n}}$和同態${\displaystyle p_{n}}$的序列。將函子${\displaystyle F}$應用於這個序列，得到一個鏈複形；這個複形的同調${\displaystyle H_{n}}$僅依賴於${\displaystyle F}$和${\displaystyle X}$，並且按定義就是${\displaystyle F}$作用於${\displaystyle X}$的n階導來函子。

同調函子

鏈複形構成一個範疇：從鏈複形${\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}$到鏈複形${\displaystyle (e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})}$的態射是一個同態的序列${\displaystyle (f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n})}$，滿足${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}}$對於所有${\displaystyle n}$成立。${\displaystyle n}$階同調 ${\displaystyle H_{n}}$可以視為一個從鏈複形的範疇到可換群（或者模）的範疇的協變函子。

若鏈複形以協變的方式依賴於物件${\displaystyle X}$（也就是任何態射${\displaystyle X\rightarrow Y}$誘導出一個從${\displaystyle X}$的鏈複形到${\displaystyle Y}$的鏈複形的態射），則${\displaystyle H_{n}}$是從${\displaystyle X}$所屬的範疇到可換群（或模）的範疇的函子。

同調和餘調的唯一區別是餘調中的鏈複形以逆變方式依賴於${\displaystyle X}$，因此其同調群（在這個情況下稱為餘調群並記為${\displaystyle H^{n}}$）構成從${\displaystyle X}$所屬的範疇到可換群或者模的範疇的逆變函子。

性質

若${\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})}$是鏈複形，滿足出有限個${\displaystyle A_{n}}$外所有項都是零，而非零的都是有限生成可換群（或者有限維向量空間），則可以定義歐拉示性數

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

（可換群採用階而向量空間的情況採用哈默爾維數）。事實上在同調水平上也可以計算歐拉示性數:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

特別地，在代數拓撲中，歐拉示性數${\displaystyle \chi }$是拓撲空間的重要不變量。

此外，每個鏈複形的短正合序列

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

誘導一個同調群的長正合序列

${\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,}$

這個長正合序列中的所有映射由鏈複形間的映射導出，除了映射${\displaystyle H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)}$之外。後者稱為連接同態，由蛇引理給出。

參看

• 奇異同調
• 餘調
• 同調論
• 同調代數

參考文獻

1. Spanier 1966，第155頁
2. Gowers 2010，第390–391頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFGowers2010 (幫助)
3. Hatcher 2002，第106頁

• Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始內容存檔於2018-05-15）. 有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (編). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398.
• Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.