狀態方程式 (宇宙學)

在宇宙學中，宇宙的狀態方程式（英文：Equation of state，EOS）被描述為一個理想流體的狀態方程式。這個狀態方程式的特徵參數是一個無因次參數${\displaystyle w\,}$，它等於宇宙的能量-動量張量中壓力${\displaystyle p\,}$和能量密度${\displaystyle \rho \,}$的比值：${\displaystyle w=p/\rho }$。它同時和熱力學中的狀態方程式以及理想氣體狀態方程式有密切聯繫。

方程式

一個理想氣體的狀態方程式可以寫作

${\displaystyle p=\rho _{m}RT=\rho _{m}C^{2}\,}$

其中${\displaystyle \rho _{m}}$是質量密度，${\displaystyle R\,}$是普適氣體常數，${\displaystyle T\,}$是溫度，${\displaystyle C={\sqrt {RT}}\,}$是氣體分子的熱運動特徵速率。 從而有

${\displaystyle w={\frac {p}{\rho }}={\frac {\rho _{m}C^{2}}{\rho _{m}c^{2}}}={\frac {C^{2}}{c^{2}}}\approx 0}$

其中對一個「冷」的氣體而言有${\displaystyle \rho =\rho _{m}c^{2}\,}$並且${\displaystyle C\ll c\,}$，c是真空中的光速。

傅里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克度規和狀態方程式

狀態方程式可以應用到傅里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃克度規來描述一個充滿理想流體的各向同性宇宙隨時間的演化情況。如果採用${\displaystyle a\,}$作為宇宙標度因子，則有

${\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}.}$

如果流體是充斥在由物質主導的平直宇宙中的，則

${\displaystyle a\propto t^{\frac {2}{3(1+w)}},}$

其中${\displaystyle t\,}$是時間。

傅里德曼加速方程式一般寫作

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)}$

其中${\displaystyle \Lambda }$是宇宙學常數，${\displaystyle G}$是牛頓的萬有引力常數，${\displaystyle {\ddot {a}}}$是宇宙標度因子對時間的二階導數。

如果我們定義（可以稱作「有效」）能量密度和壓力分別為

${\displaystyle \rho ^{\prime }\equiv \rho +{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

${\displaystyle p^{\prime }\equiv p-{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$

以及

${\displaystyle p^{\prime }=w^{\prime }\rho ^{\prime }}$

則傅里德曼加速方程式可以寫做

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4}{3}}\pi G\left(\rho ^{\prime }+3p^{\prime }\right)=-{\frac {4}{3}}\pi G(1+3w^{\prime })\rho ^{\prime }}$

非相對論性物質

對普通的非相對論性物質（例如，冷的塵埃氣體等）而言，狀態方程式有${\displaystyle w=0\,}$，這表明它們滿足關係${\displaystyle \rho \propto a^{-3}=V^{-1}}$，其中${\displaystyle V\,}$是體積。這意味着能量密度會隨體積變化發生同樣的紅移，這對於普通的非相對論性物質來說是很自然的。

超快相對論性物質

對超快相對論性物質（例如，輻射，以及極早期宇宙的物質），狀態方程式有${\displaystyle w=1/3\,}$，這表明它們滿足關係${\displaystyle \rho \propto a^{-4}}$。這意味着在一個膨脹宇宙中，能量密度的衰減要比體積的膨脹更快。這從物質波的角度可以理解為：由於輻射具有動量，對應的物質波波長會發生紅移。

宇宙暴脹和加速膨脹

宇宙的暴脹和加速膨脹可以用暗能量的狀態方程式來描述。在最簡單的情形中，宇宙學常數的狀態方程式有${\displaystyle w=-1\,}$。在這個情形下，上面給出的宇宙標度因子的表達式不成立，而有${\displaystyle a\propto e^{Ht}}$，其中${\displaystyle H\,}$是哈勃參數。更一般來講，宇宙的加速膨脹可以用任何一個滿足${\displaystyle w<-1/3\,}$的狀態方程式來描述。所謂幽靈能量的狀態方程式對應着${\displaystyle w<-1\,}$，這在理論上會造成最終宇宙的大撕裂（Big Rip）。

流體

在一個膨脹宇宙中，具有更大的參數${\displaystyle w\,}$值的流體比具有更小參數值的流體消失得更快。這就引發了大爆炸理論中平直問題（即現在觀測到的宇宙的能量密度非常接近臨界密度，從而它是近乎平直的）和磁單極子問題：空間曲率具有${\displaystyle w=-1/3}$的狀態方程式而磁單極子具有${\displaystyle w=0\,}$的狀態方程式，因此如果它們曾出現在大爆炸的早期，它們在今天應該還能被觀測到。在暴脹模型中這些問題得到了解決，暴脹模型具有${\displaystyle w\approx -1}$的狀態方程式。對暗能量的狀態方程式進行測量是當今觀測宇宙學領域所作的最大努力之一，通過對${\displaystyle w\,}$值的測量，人們寄希望於宇宙學常數可以與${\displaystyle w\neq -1}$的第五元素區分開來。

純量模型

具有狀態方程式的理想流體可以看作是一個純量場：

${\displaystyle {w={\frac {{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}-V(\phi )}{{\frac {1}{2}}{\dot {\phi }}^{2}+V(\phi )}},}}$

其中${\displaystyle {\dot {\phi }}}$是${\displaystyle \phi }$對時間的導數，而${\displaystyle V(\phi )}$是位能。一個自由的（即${\displaystyle V=0}$）純量場具有${\displaystyle w=1\,}$的狀態方程式，而具有減少的動能的純量場等價於一個宇宙學常數：${\displaystyle w=-1}$。任何介於兩者之間的狀態方程式（${\displaystyle w=-1}$這一界限被稱作幽靈分界線（Phantom Divide Line）^[1]）都是有意義的，從而通過純量場構建了能夠解釋宇宙學的很多現象的有用模型。

w的觀測值

根據2007年發表在自然雜誌的一篇文章，科學家們通過對超新星和星系群的觀測證據，以及對宇宙微波背景輻射的觀測結果推導出狀態方程式的參數${\displaystyle w\,}$的值應該在-1左右的很小範圍內^[2]。

參閱

參考資料

1. A. Vikman,``Can dark energy evolve to the phantom?,Phys. Rev. D 71, 023515 (2005), http://inspirehep.net/record/653821
2. Hogan, Jenny. "Welcome to the Dark Side." Nature 448.7151 (2007): 240-245. http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=aph&AN=25801949&site=ehost-live