波茲曼常數

波茲曼常數（英語：Boltzmann constant）是有關於溫度及能量的一個物理常數，常用 ${\displaystyle k}$ 或 ${\displaystyle k_{B}}$ 表示，以紀念奧地利物理學家路德維希·波茲曼在統計力學領域做出的重大貢獻。數值及單位為：（SI制，2014 CODATA 值）

${\displaystyle k=1.38064852(79)\times 10^{-23}}$J/K

提示：此條目頁的主題不是斯特凡-玻爾茲曼常數。

數值[1]	單位
6977138064900000000♠1.380649×10−23[2]	J·K−1
6995861733326214500♠8.617333262145×10−5	eV·K−1
6984138064900000000♠1.380649×10−16	erg·K−1

括號內為誤差值，原則上波茲曼常數為導出的物理常數，其值由其他物理常數及絕對溫度單位的定義所決定。

氣體常數 ${\displaystyle R}$ 是波茲曼常數 ${\displaystyle k}$ 乘上阿佛加德羅常數 ${\displaystyle N_{A}}$：

${\displaystyle k={\frac {R}{N_{\text{A}}}}\,}$

當使用摩爾數計算粒子數時，較常使用氣體常數。

國際計量委員會建議採用波茲曼常數來定義熱力學溫度單位開爾文（K）。^[3]

新的波茲曼常數已被ISO設定為${\displaystyle k=1.380\ 649\times 10^{-23}\ {\mbox{J/K}}}$。^[4][5]

歷史

波茲曼常數以其 19 世紀奧地利發現者路德維希·波茲曼 (Ludwig Boltzmann) 的名字命名。

儘管波茲曼在 1877 年首次將熵和機率聯繫起來，但這種關係從未用特定常數來表達，直到馬克斯·普朗克首次引入 k，並給出了更精確的值（1.346×10^-23 J/K，比今天的值低約 2.5%），他在 1900-1901 年推導了黑體輻射定律。

1900 年之前，涉及波茲曼因子的方程式不是使用每個分子的能量和波茲曼常數編寫的，而是使用氣體常數 R 的形式以及物質巨觀量的宏觀能量。

波茲曼墓碑上標誌性的簡潔形式的方程式 S = k ln W 實際上是普朗克提出的，而不是波茲曼提出的。

普朗克實際上在與他的同名 h 相同的著作中介紹了它。

1920年，普朗克在他的諾貝爾獎獲獎演說中寫道：[13]

這個常數通常被稱為波茲曼常數，儘管據我所知，波茲曼本人從未引入過它——這是一種特殊的情況，可通過以下事實來解釋：從波茲曼偶爾的言論中可以看出，他從未考慮過進行常數的精確測量。

這種「特殊的事態」可以通過一場盛大的科學辯論來說明。

十九世紀下半葉，對於原子和分子是否真實存在，或者它們只是解決問題的啟發式工具，存在相當大的分歧。

通過原子量測量的化學分子是否與通過動力學理論測量的物理分子相同，彼時尚未達成一致。

普朗克1920年的演說：

沒有什麼比這樣的事實更能說明實驗者的精湛技術在過去二十年中所取得的積極而忙碌的進步：從那時起，人們不僅發現了一種方法，而且發現了許多測量物體質量的方法。 分子的精確度幾乎與行星的精確度相同。

在2019年重新定義SI基本單位之前，波茲曼常數是測量量而不是固定值。

由於開爾文和其他SI基本單位的重新定義，其定義發生了多次變化。

2017 年，通過聲學氣體測溫法獲得了最準確的波茲曼常數測量，該測溫法利用微波和聲學共振確定三軸橢球室內單原子氣體的聲速。

這項長達十年的努力是由多個實驗室採用不同技術進行的；它是2019年重新定義 SI 基本單位的基石之一。

根據這些測量結果，CODATA建議1.380649×10^−23 J/K 作為用於國際單位制的波茲曼常數的最終固定值。

溫度與能量關係

在絕對溫度為${\displaystyle T}$的熱力學系統下，熱能是由系統中微觀的自由度所決定的，每一自由度對內能的貢獻為${\displaystyle {\frac {kT}{2}}}$。室溫，300 K（27 °C 或 80 °F）約為

${\displaystyle {\frac {kT}{2}}=2.07\times 10^{-21}}$J或 0.013 eV。

在經典統計力學裏，同質性理想氣體每個原子每一自由度具有 ${\displaystyle {\frac {kT}{2}}}$ 。單原子理想氣體每個原子具有3個自由度，對應於三個空間方向，所以每個原子的熱能為 1.5kT 。如同熱容量文章裏提到的，非常接近實驗值。熱能可用以計算原子的方均根速度，反比於原子量（原子質量）的平方根。室溫下的方均根速度範圍約從氦的 1370 m/s ，到氙的 240 m/s 之間。對於分子氣體則更複雜；例如雙原子氣體每分子約有5個自由度。

上述結果是從理想氣體狀態方程式中推出的。

理想氣體狀態方程式：

${\displaystyle PV=NkT}$

熵的定義

在統計力學裏，一個系統的熵「S」定義為${\displaystyle \Omega }$的自然對數，此數是宏觀條件限制下（例如固定之總能量 「E」）的微觀狀態數目。

${\displaystyle S=k\,\ln \Omega }$

比例常數 ${\displaystyle k}$ 為波茲曼常數。此方程式描述系統的微觀條件（${\displaystyle \Omega }$）和宏觀狀態（${\displaystyle S}$）之間的關係，是統計力學的一個中心概念。

熱電壓

在半導體學中，穿越P-N 二極體的電荷與電壓之間的關係，稱之為熱電壓，記號為${\displaystyle V_{T}}$。此熱電壓與絕對溫度有關。其關係式為：

${\displaystyle V_{T}={kT \over q},}$ 其中${\displaystyle q}$ 為電子的電量（大小為1.602×10⁻¹⁹, 單位是庫侖）。

若使用電子伏特為單位，則波茲曼常數可表示溫度與能量之間的關係為 8.617 343(15)×10⁻⁵ eV/K。

參見

• 絕對溫度
• 電子伏特

參考文獻

1. Barry N. Taylor of the Data Center in close collaboration with Peter J. Mohr of the Physical Measurement Laboratory's Atomic Physics Division, Termed the "2014 CODATA recommended values", they are generally recognized worldwide for use in all fields of science and technology. The values became available on 25 June 2015 and replaced the 2010 CODATA set. They are based on all of the data available through 31 December 2014. Available: https://physics.nist.gov （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
2. The International System of Units (SI). Bureau International des Poids et Mesures. 2019: 129.
3. 溫度的單位：克耳文(K). 國家度量衡標準實驗室. [2015-10-16]. （原始內容存檔於2021-04-17）.
4. Ghosh, Pallab. Kilogram gets a new definition. BBC News. 2018-11-16 [2018-11-16]. （原始內容存檔於2018-11-16） （英國英語）.
5. Veritasium, The kg is dead, long live the kg, 2018-11-15 [2018-11-16], （原始內容存檔於2021-10-05）

外部連結

• Boltzmann's constant CODATA value at NIST （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）