希羅公式(英語:Heron's formula或Hero's formula),又譯希羅公式[1]。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現,並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明,原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式,因為《Metrica》是一部古代數學知識的結集,該公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。[2]
假設有一個三角形,邊長分別為,三角形的面積可由以下公式求得:
- ,其中
中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二題即三斜求積。「問沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知為田幾何?」答曰:「三百十五頃.」其術文是:「以小斜冪併大斜冪,減中斜冪,餘半之,自乘於上;以小斜冪乘大斜冪,減上,餘四約之,爲實,一為從隅,開平方,得積。」若以大斜記為,中斜記為,小斜記為,秦九韶的方法相當於下面的一般公式:
- ,其中
像其他中國古代的數學家一樣,他的方法沒有證明。根據現代數學家吳文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。
由於任何邊的多邊形都可以分割成個三角形,所以希羅公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候,不用測三角形的高,只需測兩點間的距離,就可以方便地匯出答案。
證明
與希羅在他的著作《Metrica》中的原始證明不同,在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊的對角分別為,則餘弦定理為
設中,。
為內心,為三旁切圓。
四點共圓,並設此圓為圓。
- 過做鉛直線交於,再延長,使之與圓交於點。再過做鉛直線交於點。
- 先證明為矩形:,又(圓周角相等)。為矩形。因此,。
- 內切圓半徑,旁切圓半徑。且易知。由圓冪性質得到:。故
其他形式
海倫公式可改寫成以冪和表示:
註釋
資料來源
參見
外部連結
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.