正五胞體

正五胞體是一種四維凸正多胞體，其展開為五個正四面體。正五胞體的投影的形狀可以想像成一個雙三角錐的兩頂點再加一條連線，或者是一個正四面體的四頂點連線至中心，在這裏，正五胞體作為正的正四面體面錐出現的。正五胞體有四個交面（等邊三角形），十條棱和五個頂點。正五胞體是最簡單的四維正多胞體（如同三角形是最簡單的多邊形）。

正五胞體 （5胞體） 4-單體
類型	正多胞體
家族	單體
維度	4
對偶多胞形	正五胞體（自身對偶）
類比	正四面體
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,3,3}
性質
胞	5 (3.3.3)
面	10 {3}
邊	10
頂點	5
組成與佈局
頂點圖	(3.3.3)
對稱性
對稱群	A4, [3,3,3]
特性
等角, 等邊, 等面, 凸
閱 論 編

正五胞體是四維的正單體，這是一系列具有相同性質的多胞形的總稱，這一家族的特性在正五胞體上也體現出來了。五胞體是四維最簡單的多胞體，任何頂點數、棱數、面數、胞數比它小的多胞體都只能成為退化多胞體（即它們並不真正具有真實的、非零的超體積）。正五胞體的頂點排布是讓五個點在四維空間中兩兩間距離都相等的唯一方案。正五胞體同其它面為正三角形的多胞形一樣，具有穩定性，即如果正五胞體10條棱長都確定了，則正五胞體就被唯一確定了。

幾何性質

正五胞體作為一個單體，是自身對偶的。當它穿過三維空間時其截體積最大時，其截體是一個半正的正三稜柱。它的二胞角度數是cos^-1(1/4)，約等於75.52°。對於一個邊長為a的正五胞體，其超體積是${\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {5}}a^{4}}{96}}}$,表體積是${\displaystyle {\cfrac {5{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}}$,高是${\displaystyle {\cfrac {{\sqrt {10}}a}{4}}}$。

若一個正五胞體的棱長為1，則其外接超球的半徑為${\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{5}}\approx 0.632455532}$,外中交超球(經過正五胞體各棱中點的三維超球)半徑為${\displaystyle {\frac {\sqrt {15}}{10}}\approx 0.3872983346}$，內中交超球(經過正五胞體各面中心的三維超球)半徑為${\displaystyle {\frac {\sqrt {15}}{15}}\approx 0.2581988897}$，內切超球半徑為${\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{20}}\approx 0.158113883}$。

頂點坐標

對於一個邊長為2，中心在四維直角坐標系原點上的正五胞體，它的5個頂點坐標分別是

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

如果把正五胞體作為一個五維直角坐標系中的四維平面，則它的頂點坐標會簡單得多，為(0,0,0,0,1)或(0,1,1,1,1)的全排列（其中正五胞體棱長為${\displaystyle {\sqrt {2}}}$），分別對應五維正軸體（正三十二超胞體）或五維半正方體（英語：5-demicube）。

對稱群結構

正五胞體屬於四維單體，它有着A₄對稱結構，對應施萊夫利符號{3,3,3}，考斯特符號，該群的群階為120。

可視化

二維線架正交投影

Ak 考克斯特平面（英語：Coxeter plane）	A4	A3	A2
圖像
二面體群	[5]	[4]	[3]

三維投影
線架球極投影(棱先被投影到了3-球面上)	正五胞體作單旋轉（英語：SO(4)#Geometry of 4D rotations）的透視投影
正五胞體正對着頂點的三維投影有正四面體形的凸包。最靠近投影中心的頂點被投影到了正四面體的中心（加紅的點）。最遠的胞被投影到了正四面體凸包本身，而其它4個胞則被投影成了一層4個環繞着中心頂點的扁平的四面體。	正五胞體正對着棱的三維投影有一個三角雙錐凸包。最近的棱(紅色)被投影成了三角雙錐的對角線，被三個被投影成二面體鍥形體的正四面體胞環繞着。剩下的兩個位於正五胞體遠端的胞被投影成了三角雙錐的兩半。
正五胞體正對着面的三維投影有着三角雙錐的凸包。最靠近投影中心的面被塗成了紅色。相交於這個面的兩個胞被投影成了三角雙錐的兩半。剩餘的處在正五胞體遠端的3個胞在圖中沒有顯示出來。它們就像正對棱的投影中一樣，環繞在雙錐的對稱軸周圍。	正五胞體正對着胞的三維投影有着正四面體胞，最近的胞被投影成了凸包本身，並且，處於遠端的4個胞沒有在這裏顯示。

相關多胞體和堆砌

正五胞體是由考克斯特群[3,3,3]構造出來的9個半正多胞體中最簡單的一個。

Name	正五胞體	截角正五胞體	截半正五胞體	截棱正五胞體	過截角正五胞體	截稜角正五胞體	截面正五胞體	截面角正五胞體	全截正五胞體
施萊夫利 符號	{3,3,3}	t0,1{3,3,3}	t1{3,3,3}	t0,2{3,3,3}	t1,2{3,3,3}	t0,1,2{3,3,3}	t0,3{3,3,3}	t0,1,3{3,3,3}	t0,1,2,3{3,3,3}
考克斯特-迪肯 符號
施萊格爾 投影
A4 考克斯特平面（英語：Coxeter plane） 圖像
A3 考克斯特平面 圖像
A2 考克斯特平面 圖像

參見

• 五胞體

參考

Regular Convex Four-Dimensional Polytopes by David Fontaine,提供了部分關於正五胞體的幾何數據。

四維正多胞體
正五胞體	超立方體	正十六胞體	正二十四胞體	正一百二十胞體	正六百胞體
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}