梅滕斯函數

梅滕斯函數（Mertens function）為一數論中的函數，針對所有正整數n定義，得名自弗朗茨·梅滕斯，梅滕斯函數定義如下

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$，

圖示為梅滕斯函數的前10000項與梅滕斯猜想中的界限

其中μ是默比烏斯函數。

上述定義也可以延伸到實數：

${\displaystyle M(x)=\sum _{1\leq k\leq x}\mu (k).}$

以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的無平方數因數的數，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。

梅滕斯函數的值及其零點

前160個梅滕斯函數的值為（OEIS數列A002321）

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
M(n)	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
M(n)	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
n	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
M(n)	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
n	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
M(n)	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
n	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
M(n)	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1
n	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
M(n)	0	-1	-2	-2	-3	-2	-3	-3	-4	-5	-4	-4	-5	-6	-5	-5	-5	-4	-3	-3
n	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
M(n)	-3	-2	-1	-1	-1	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4
n	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
M(n)	-3	-2	-1	-1	0	1	1	1	0	0	-1	-1	-1	-2	-1	-1	-2	-1	0	0

梅滕斯函數緩慢的增長及減少，不論其平均值或是峰值都有類似特性，其函數以類似混沌的方式,在零的上下變化，梅滕斯函數在以下幾點的數值為零：

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... （OEIS數列A028442）.

實際計算

利用類似質數計算的埃拉托斯特尼篩法，可以隨着n的增加，計算梅滕斯函數

計算者	年份	上限
Mertens	1897	104
von Sterneck	1897	1.5×105
von Sterneck	1901	5×105
von Sterneck	1912	5×106
Neubauer	1963	108
Cohen and Dress	1979	7.8×109
Dress	1993	1012
Lioen and van de Lune	1994	1013
Kotnik and van de Lune	2003	1014

所有不大於N正整數的梅滕斯函數可以在用O(N^2/3+ε)時間內算出來，不過已知有更好的演算法。有基本的演算法可以計算單獨的M(N)，時間複雜度為O(N^2/3*(ln ln(N))^1/3)。

A084237為10的冪下的梅滕斯函數。

梅滕斯猜想和黎曼猜想

因為默比烏斯函數的數值只有-1、0及+1，因此梅滕斯函數緩慢的變化，不存在正整數n使得|M(n)| > n。梅滕斯猜想更進一步，認為不存在正整數n使得梅滕斯函數的絕對值超過數值的平方根。梅滕斯猜想是由湯姆斯·斯蒂爾吉斯在一封於1885年寫給夏爾·埃爾米特與弗朗茨·梅滕斯的信中提出的，已在1985年被安德魯·奧德里茲科（英語：Andrew Odlyzko）與赫爾曼·特里爾（英語：Herman te Riele）證否^[1]。

黎曼猜想等價於較弱型式的梅滕斯猜想M(n) = O(n^{1/2 + ε})。因為較高的M(n)成長的速度至少和n的平方根一様快，因此可以對成長速率定出上下限。此處的O為大O符號。

參見

• 梅滕斯猜想
• 劉維爾函數

參考資料

1. Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF), Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357: 138–160 [2015-07-25], ISSN 0075-4102, MR 0783538, Zbl 0544.10047, doi:10.1515/crll.1985.357.138, （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-12）

• Edwards, Harold. Riemann's Zeta Function. Mineola, New York: Dover. 1974. ISBN 0-486-41740-9.
• F. Mertens, "Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761–830.
• 埃里克·韋斯坦因. Mertens function. MathWorld.
• Jose Javier Garcia Moreta. Borel Resummation & the Solution of Integral Equations. [2015-07-26]. （原始內容存檔於2015-07-25）.
• Sloane, N.J.A. (編). Sequence A002321 (Mertens's function). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Marc Deléglise, Joöl Rivat. Computing the Summation of the Möbius Function.. Experiment. Math. 1996, 2: 291–295 [2015-07-25]. （原始內容存檔於2015-07-26）.