e的π次方

${\displaystyle e^{\pi }\,}$又稱格爾豐德常數（英語：Gelfond's constant）是一個數學常數。與e和π一樣，它是一個超越數。這可以用格爾豐德-施奈德定理來證明，並注意到：

${\displaystyle e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}}$

e的π次方

e的π次方
命名
名稱	格爾豐德常數
識別
種類	無理數 超越數
符號	${\displaystyle e^{\pi }}$
位數數列編號	A039661
性質
連分數	[23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108 ...]
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle x^{i}+1=0}$
表示方式
值	23.140692632779269 ${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$ ${\displaystyle e^{\pi }=(-1)^{\tfrac {1}{i}}={\sqrt[{i}]{-1}}}$ ${\displaystyle e^{\pi }=(i)^{(-2i)}}$ ${\displaystyle e^{\pi }={{1} \over {(i^{i})^{2}}}}$
二進制	10111.001001000000010001101110…
十進制	23.140692632779269005729086…
十六進制	17.24046EB093399ECDA7489F9A…
閱 論 編

其中i是虛數單位。由於−i是代數數，但肯定不是有理數，因此e^π是超越數。這個常數在希爾伯特第七問題中曾提到過。一個相關的常數是${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$，又稱為格爾豐德-施奈德常數。相關的值${\displaystyle \pi +e^{\pi }\,}$也是無理數^[1]。

數值

在十進制中，e^π大約為

${\displaystyle {{e}^{\pi }}\approx 23.140692632779\dots \,.}$

它的值可以用以下迭代來求出。定義

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}$

其中${\displaystyle \scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$

則

${\displaystyle \left({\frac {4}{k_{N}}}\right)^{2^{1-N}}}$

迅速收斂於${\displaystyle e^{\pi }}$。

幾何中的獨特之處

n維球體的體積由以下公式給出：

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}$

所以，任何一個偶數維的單位球具有體積：

${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.}$

把所有偶數維的單位球的體積加起來，得出：^[2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}$

相似或相關的常數

拉馬努金常數

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{格 爾 豐 德 常 數 }})^{\sqrt {163}}}$

即所謂的拉馬努金常數，是黑格納數的一個應用，其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。

同 e^π - π 一樣，e^π√163 非常接近整數：

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=}$ 7017262537412640768♠262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... ${\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}$

雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現，但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金第一個預測它非常接近整數，因而以他為名。

這種非常近似於 640320³ + 744 的巧合，可以用 j-invariant（英語：j-invariant）的複數乘法（英語：complex multiplication）及q展開來表示。

${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$

且

${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$

而 O(e^-π√163) 是誤差項。

${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$

這解釋了為何 e^π√163 比 640320³ + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。（這個證明的細節，可以參考黑格納數）。

數 eπ - π

由 A018938 所給出 e^π - π 的十進位表示為

${\displaystyle e^{\pi }-\pi =}$ 7001199990999791894♠19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...

儘管這個數非常接近正整數 20 ，但目前沒有關於這個現象的解釋；因此，被認為是一種數學巧合。

數 πe

由 A059850 給出的 π^e 十進位表示為：

${\displaystyle \pi ^{e}=}$ 7001224591577183610♠22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...

目前還不知此數是否是超越數。

須注意的是，根據 格爾豐德-施奈德定理，只有在 a 是代數數，而 b 是非有理數（a，b 都是複數，且 a ≠ 0, a ≠ 1）的情況下，a^b 才為超越數。

之所以可以證明 e^π 是超越數，其原因在於複數的指數形式，因為 π 可以被視為複數 e^π 的模，而根據 (-1)^-i 的等式，才可以使用 格爾豐德-施奈德定理 。

π^e 則沒有如此的等式，所以，儘管 π 和 e 都是超越數，但我們不能由此說 π^e 是超越數。

數 eπ - πe

如同 π^e，我們仍不知 e^π - π^e 是否是超越性質的。甚至，目前還沒有證明說它是無理數：

由 A059850 給出的 e^π - π^e 十進位表示為：

${\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}=}$ 6999681534914418223♠0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...

數 ii

${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$

由 A059850給出的 iⁱ 十進位表示為：

${\displaystyle i^{i}=}$ 6999207879576350761♠0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...

因為上述等式，可用格爾豐德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的：

i 是代數數，但同時不是有理數，由此iⁱ 是超越數。

參見

• 格爾豐德-施奈德常數
• 格爾豐德-施奈德定理
• 希爾伯特第七問題

參考文獻

1. Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914.
2. Connolly, Francis. University of Notre Dame

外部連結

• MathWorld（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）