斜率

在數學上，直線的斜率（slope）或稱梯度（gradient），是描述與度量該線「方向」和「陡度」的數字，常用 ${\displaystyle m}$ 表示；斜率也用來計算斜坡的「斜度」（傾斜程度）。透過代數和幾何能計算出直線的斜率。

斜率：${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$，${\displaystyle \theta }$是傾角

一直線的斜率在其上任一點皆相等；一曲線的斜率在其上任一點則不定，由該點切線的斜率而決定。曲線上某點的切線斜率，反映此曲線的變數在此點的變化快慢程度。透過微積分可計算出曲線中任一點的切線斜率，直線斜率的概念等同土木工程和地理的坡度。

另一個相關概念是傾角（angle of inclination）或斜角，即直線與水平軸（${\displaystyle x}$ 軸）所夾的最小角，以 ${\displaystyle \theta }$ 表示，${\displaystyle -90^{\circ }<\theta \leq 90^{\circ }}$。傾角 ${\displaystyle \theta }$ 的正切函數值為直線的斜率，即 ${\displaystyle m=\tan(\theta )}$；而 ${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$，${\displaystyle \arctan }$ 是反正切函數。

定義

• 對於直角坐標系，一次函數：${\displaystyle y=kx+b}$，若 ${\displaystyle k}$、${\displaystyle b}$ 均不為0，則可說 ${\displaystyle k}$ 是斜率，${\displaystyle b}$ 是截距。

• 若橫軸為 ${\displaystyle x}$ 軸，縱軸是 ${\displaystyle y}$ 軸，斜率 ${\displaystyle m}$ 可表示為：

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$　(${\displaystyle \Delta }$：變數的改變)

• 若已知道直角坐標系內兩點 ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ 和 ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$，則斜率 ${\displaystyle m}$ 可表示為：

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

• 垂直線的斜率是未定義的，因為此時 ${\displaystyle \Delta x=0}$（即 分母為 0）。

運算

點斜式

如已知點${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$斜率為${\displaystyle m}$的直線方程式時，即可使用此方法。

${\displaystyle y-y_{0}=m\left(x-x_{0}\right)}$

截距式

若已知某直線在${\displaystyle x}$軸、${\displaystyle y}$軸上的截距分別為${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$，則該直線的方程可以表示為：

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$

兩點式

如已知${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$、${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$相異兩點${\displaystyle x_{1}}$≠${\displaystyle x_{2}}$，${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\left(x-x_{1}\right)}$

②若${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$，${\displaystyle x=x_{1}}$

原理：兩個相似的直角三角形

斜截式

如已知斜率${\displaystyle m}$ ，${\displaystyle y}$截距為${\displaystyle b}$，則直線的方程式是

${\displaystyle y=mx+b.}$

若${\displaystyle x}$截距為${\displaystyle a}$，則是 ${\displaystyle y=m(x-a).}$

參見

• 直線
• 角度
• 截距
• 方程式
• 方程組