聯立方程式

聯立方程式（英語：simultaneous equations）又稱方程組（system of equations），是兩個或兩個以上含有多個未知數的方程聯立得到的集。未知數的值稱為聯立方程式的根，求聯立方程式根的過程稱為解聯立方程式。一般在方程式的左邊加大括號標註。

解聯立方程式的方法

解聯立方程式的方法大致上有畫圖法、代入法、消元法（包括高斯消元法）、矩陣法（包括克萊姆法則）等。

畫圖法

畫圖法就是把兩條方程式畫在圖上，兩線的交點就是解了。

如要解決以下聯立方程式︰

${\displaystyle {\begin{cases}2x+y=8\\x+y=6\end{cases}}}$

首先要把要把它們畫在圖上︰

綠色為 ${\displaystyle 2x+y=8\,}$， 紅色為 ${\displaystyle x+y=6\,}$。

兩線的交點是︰

${\displaystyle (x,y)=(2,4)}$

所以它的解為：

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}}$

代入消元法

如要解決以下聯立方程式︰

${\displaystyle {\begin{cases}2x+y=8\\x+y=6\end{cases}}}$

過程是︰

${\displaystyle {\begin{aligned}2x+y&=8\\y&=8-2x\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=6\\6-x&=y\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\backslash \quad &\quad \quad \ /\\8-2x&=6-x\\8-6&=2x-x\\x&=2\end{aligned}}}$

然後把 ${\displaystyle x\,}$ 代入到其中一條方程式裏︰

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=6-x\\&=6-(2)\\&=4\end{aligned}}}$

所以它的解為：

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}}$

加減消元法

如要解決以下聯立方程式︰

${\displaystyle {\begin{cases}2x+y=8\\x+y=6\end{cases}}}$

把兩個相減︰

${\displaystyle {\begin{aligned}\ 2x+y=8\\{\underline {-)\ x+y=6}}\\({\text{subtract}})\ x=2\end{aligned}}}$

然後把 ${\displaystyle x}$ 代入到其中一條方程式裏︰

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=6&({\text{the second equation}})\\(2)+y&=6\\y&=6-2\\y&=4\end{aligned}}}$

所以它的解為：

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}}$

參見

• 方程式
• 線性聯立方程式

外部連結

• （英文）電腦解決數學問題 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• （英文）線性聯立方程式求解器 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）