實數完備性

直觀上，實數完備性（英語：Completeness of the real numbers）意味着實數軸上（以理查德·戴德金的說法）沒有「間隙」。這是實數區別於有理數的特點，有理數在數軸上是有間隙的，即無理數。在十進制計數法下，實數的完備性等價於：實數與一個十進制小數表示一一對應。

實數的完備性公理有一組等價命題，完備性的定義方式與實數的構造方式相關。在確立其中之一為公理後，其餘皆為完備性公理的等價定理。

等價命題

實數完備性可以用以下任意一個等價定理作為出發點。以下從最小上界定理出發，來證明其他等價命題。

最小上界性

主條目：最小上界性

又稱為上確界定理（Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB），也就是

定理 — 集合 ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ 且 ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ，若 ${\displaystyle A}$ 存在 ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$ ，使得：

「對所有的 ${\displaystyle a\in A}$ ， ${\displaystyle a\leq d}$ 」（稱 ${\displaystyle d}$ 為 ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ 的一個上界）

則存在 ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ 使得：

「 ${\displaystyle s}$ 為 ${\displaystyle A}$ 的一個上界 」且 「對所有 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ ，只要 ${\displaystyle r}$ 為 ${\displaystyle A}$ 的一個上界，則 ${\displaystyle s\leq r}$ 」

也就是說，實數非空子集有上界，則它有最小上界。其證明請參見實數的構造。

柯西收斂準則

主條目：柯西收斂準則

設 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ 是實數柯西序列。設 S 為這樣一個集合，其中每個實數只大於序列 ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ 中的有限個成員。${\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$，設 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ^{+}}$ 使得 ${\displaystyle \forall n,m\geq N}$， ${\displaystyle |s_{n}-s_{m}|<\varepsilon }$。於是這個序列在區間 ${\displaystyle (s_{N}-\varepsilon ,s_{N}+\varepsilon )}$ 裏出現無限多次，而且只在它的補集裏最多出現有限次。這意味着 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \in }$ S， 因此 S${\displaystyle \not =\emptyset }$。另外 ${\displaystyle s_{N}+\varepsilon }$ 是 S 的上界。於是通過 LUB 公理，可以設 b 是 S 的最小上界，而且 ${\displaystyle s_{N}-\varepsilon \leq b\leq s_{N}+\varepsilon }$ 。由三角不等式，當 n>N 時成立時 ${\displaystyle d(s_{n},b)\leq d(s_{n},s_{N})+d(s_{N},b)\leq \varepsilon +\varepsilon =2\varepsilon }$。所以 ${\displaystyle s_{n}\longrightarrow b}$ 。

滿足柯西收斂準則的度量空間稱為完備空間，若取函數 ${\displaystyle d}$ 為

${\displaystyle d=\left\{(a,\,b){\bigg |}(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (b=|a|)\right\}}$

可以驗證 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$ 為一度量空間，這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 有最小上界定理等價於 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,d)}$ 為完備空間。」

區間套原理

主條目：區間套

定理聲稱對於任一的有界閉區間套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]並滿足a_n ≤ b_n），它們的交集I_n非空，且為閉區間${\displaystyle [\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]}$；特別地，假若${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0}$，則它們的交集J為一個包含且僅包含${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$的單點集。

單調有界定理

主條目：單調收斂定理

如果${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$是一個單調的實數序列（例如單調遞增：${\displaystyle a_{k}\leq a_{k+1}}$），則這個序列具有有限極限，當且僅當序列有界。此定理可以由LUB公理證明。

聚點定理

主條目：波爾查諾-魏爾施特拉斯定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理（英語：Bolzano–Weierstrass theorem）說明，${\displaystyle \mathbb {R} }$中的一個子集${\displaystyle E}$是序列緊緻（每個序列都有收斂子序列）當且僅當${\displaystyle E}$是有界閉集。更一般地，這個定理對有限維實向量空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$亦有效。

參考資料

• Upper and Lower Bounds (including the lub axiom)，Springer's Encyclopedia of Mathematics（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Apostol, Tom M. "Mathematical analysis." (1964).