直觀上,實數完備性(英語:Completeness of the real numbers)意味着實數軸上(以理查德·戴德金的說法)沒有「間隙」。這是實數區別於有理數的特點,有理數在數軸上是有間隙的,即無理數。在十進制計數法下,實數的完備性等價於:實數與一個十進制小數表示一一對應。

實數的完備性公理有一組等價命題,完備性的定義方式與實數的構造方式相關。在確立其中之一為公理後,其餘皆為完備性公理的等價定理

等價命題

實數完備性可以用以下任意一個等價定理作為出發點。以下從最小上界定理出發,來證明其他等價命題。

最小上界性

又稱為上確界定理(Theorem of Least-Upper-Bound, 簡稱LUB),也就是

定理 — 集合 ,若 存在 ,使得:

「對所有的 」(稱 的一個上界

則存在 使得:

的一個上界 」且 「對所有 ,只要 的一個上界,則

也就是說,實數非空子集有上界,則它有最小上界。其證明請參見實數的構造

柯西收斂準則

是實數柯西序列。設 S 為這樣一個集合,其中每個實數只大於序列 中的有限個成員。,設 使得 。於是這個序列在區間 裏出現無限多次,而且只在它的補集裏最多出現有限次。這意味着 S, 因此 S。另外 是 S 的上界。於是通過 LUB 公理,可以設 b 是 S 的最小上界,而且 。由三角不等式,當 n>N 時成立時 。所以

滿足柯西收斂準則度量空間稱為完備空間,若取函數

可以驗證 為一度量空間,這樣本節的結果也可以重新敘述為「實數系 最小上界定理等價於 完備空間。」

區間套原理

定理聲稱對於任一的有界閉區間套In(例如In = [an, bn]並滿足anbn),它們的交集In非空,且為閉區間;特別地,假若,則它們的交集J為一個包含且僅包含的單點集。

單調有界定理

如果是一個單調的實數序列(例如單調遞增:),則這個序列具有有限極限,當且僅當序列有界。此定理可以由LUB公理證明。

聚點定理

波爾查諾-魏爾施特拉斯定理(英語:Bolzano–Weierstrass theorem)說明,中的一個子集序列緊緻(每個序列都有收斂子序列)當且僅當有界閉集。更一般地,這個定理對有限維向量空間亦有效。

參考資料

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