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復活節的計算(computus,拉丁文「計算」之意),其規則是復活節的日期是在3月21日當日或之後的滿月日後的首個星期日。天主教會設計了方法去定一個「天主教的月」,而不像猶太人般觀察真正的月亮。
基督教在二世紀開始,出現兩個紀念耶穌復活的日期:東方的小亞細亞教會,遵循耶穌的使徒的遺傳,於是在猶太人的逾越節,即是猶太曆尼散月十四日,紀念耶穌的受難和復活,表明逾越節羔羊預表耶穌(哥林多前書5:7)。至於以羅馬教會為代表的西方教會,就在逾越節後的星期日紀念耶穌的復活。從二世紀後期開始,這項分歧引致教會間很大紛爭。後來在325年第一次尼西亞會議,決定不按猶太曆法,而按照春分月圓,自行計算出復活節日期(但是所謂「春分」是固定於西曆3月21日)。此後教會為了定出從西曆計算月亮周期的方法,不依賴於天文觀察,各地先後提出多種方法,歷時數個世紀,才定出各地教會共用的計算表冊和方法。
由於猶太曆是陰曆,基督教會捨棄依從猶太曆的傳統時,便造出自己的陰曆取代。每29或30日合為一個陰曆月(如果包含2月29日則有31日),在3月結束的陰曆月有30日,在4月結束者有29日,如此長短相間。12個陰曆月比陽曆年短11日,兩者的差距稱為閏餘(epact),陽曆日期加上閏餘得出陰曆月的日期。閏餘每年增加11日,達到30日或以上則減去30,設一個30日的閏月。每19年的默冬週期應剛好等於235個陰曆月,閏餘應以19年為一週期,但是19年的閏餘累積為29日,於是在儒略曆中將最後一年7月1日開始的陰曆月由本來30日減去1日,又在19年中加入7個各30日的閏月,分別開始於在第2年12月3日,第5年9月2日,第8年3月6日,第10年12月4日,第13年11月2日,第16年8月2日,第19年3月5日。一年在默冬週期中的位置稱為黃金數,算式是年份除以19的餘數加1。陰曆月第14日定為形式上的望日。望日在3月21日或之後的第一個陰曆月是復活節月,復活節是此陰曆月第14日之後第一個週日。
由於1582年格里曆改革主要原因,在於當時的復活節計算法已遠離真正的春分和滿月,在推出新曆法時也推行了新的復活節計算法。將全年365日列出,再用遞減的羅馬數字標記各日,1月1日標記為「*」(0或30),1月2日為「xxix」(29),直到「i」,然後再重複至年末,但每偶數週期只有29日,需將標記為「xxv」的日子也標為「xxiv」。最後每個30日週期中將標記為「xxv」的日子加上標記「25」,每個29日週期中將標為「xxvi」的日子加上標記「25」。然後用「A」至「G」為每日標記,一年第一個週日的字母是這年的主日字母,例如如果1月5日是星期日,這年的主日字母是「E」,但是閏年有兩個主日字母,第一個是1至2月,第二個(提前一字母)是3月以後。每個陰曆月的朔日是和閏餘相同的羅馬數字日子。然而,由於默冬週期中,相隔11年的兩個年份閏餘相差1日,如果這兩年閏餘分別是24和25,那麼這兩年的朔日都會一樣,顯得不太優美,因此黃金數大於11而閏餘是25的年份,朔日改在標記為「25」的日子。格里曆每400年減去3個閏年,但是為免影響默冬週期,因此這三年將閏餘減1以修正(solar equation,equation按古代意思解作修正差異);不過,19個未改正的儒略年比235個朔望月略長,每310年差距累積到一日,故此每2500(格里)年中,須8次將閏餘加1以修正(lunar equation),修正在世紀年進行,每兩次修正相隔300年,但每8次修正後隔400年再開始,第一次在1800年,下一次在2100年。這兩種修正有時互相抵消,如1800年和2100年即是。格里曆改革後黃金數方法被閏餘方法取代,但可以編制出兩者關係的簡化表格,有效期由一至三個世紀不等。以下的閏餘表對1900年至2199年適用。黃金數的算法為年份除以19的餘數再加1,如2014年除以19的餘數為0,故此2014黃金數是1。
黃金數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
閏餘 | 29 | 10 | 21 | 2 | 13 | 24 | 5 | 16 | 27 | 8 | 19 | * | 11 | 22 | 3 | 14 | 25 | 6 | 17 |
標記 | 3月 | 主日字母 | 4月 | 主日字母 |
---|---|---|---|---|
* | 1 | D | ||
xxix | 2 | E | 1 | G |
xxviii | 3 | F | 2 | A |
xxvii | 4 | G | 3 | B |
xxvi | 5 | A | 4 | C |
25 | 6 | B | ||
xxv | 5 | D | ||
xxiv | 7 | C | ||
xxiii | 8 | D | 6 | E |
xxii | 9 | E | 7 | F |
xxi | 10 | F | 8 | G |
xx | 11 | G | 9 | A |
xix | 12 | A | 10 | B |
xviii | 13 | B | 11 | C |
xvii | 14 | C | 12 | D |
xvi | 15 | D | 13 | E |
xv | 16 | E | 14 | F |
xiv | 17 | F | 15 | G |
xiii | 18 | G | 16 | A |
xii | 19 | A | 17 | B |
xi | 20 | B | 18 | C |
x | 21 | C | 19 | D |
ix | 22 | D | 20 | E |
viii | 23 | E | 21 | F |
vii | 24 | F | 22 | G |
vi | 25 | G | 23 | A |
v | 26 | A | 24 | B |
iv | 27 | B | 25 | C |
iii | 28 | C | 26 | D |
ii | 29 | D | 27 | E |
i | 30 | E | 28 | F |
* | 31 | F | 29 | G |
xxix | 30 | A |
舉例:2019年黃金數是6,閏餘是24,則標記為「xxiv」日子是朔日,3月7日和4月5日為朔日,而望日為朔日的13日後,即3月20日和4月18日。3月21日或之後的望日是4月18日。這一日之後(不包括當日)的週日是復活節。2019年的主日字母是「F」,所以4月21日是復活節。
第偶數個陰曆月只有29日,有一日需有兩個閏餘標記,而選擇移動「xxv/25」的理由可能是:在閏餘為24的年份,如果3月7日開始的陰曆月有30日,復活節月便在4月6日開始,望日在4月19日,又假設該日是週日,復活節便在下週日4月26日。但是教會規定復活節不晚於4月25日,所以4月5日便有兩個標記「xxv」「xxiv」。因此格里曆中復活節最多出現在4月19日,約3.87%,最少出現在3月22日,約0.48%。
格里曆改革前西方教會使用的方法,也是東方正教會現今使用的方法,採用未改正的默冬週期,每週期開始閏餘都是0日,因此復活節望日只可能有19個。因為儒略曆不作出像格里曆的改正,每過一千年,教會陰曆的望日日期會比實際的望日推遲三日多,故此現時約有一半東正教的復活節比西方教會晚了一週。又由於儒略曆在1900年至2099年間比格里曆落後13日,格里曆的復活節望日不時在儒略曆3月21日之前,使東正教的復活節比西方教會晚了四至五週。
各地教會從4世紀開始漸漸採用此方法,931年最後一個英格蘭修道院也採用。在採用此方法前各地用其他方法定出復活節日期,相差可以達至五週。
下表是自從931年起儒略曆的復活節望日日期:
黃金數 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
復活節望日 | 4月5日 | 3月25日 | 4月13日 | 4月2日 | 3月22日 | 4月10日 | 3月30日 | 4月18日 | 4月7日 | 3月27日 | 4月15日 | 4月4日 | 3月24日 | 4月12日 | 4月1日 | 3月21日 | 4月9日 | 3月29日 | 4月17日 |
例子:1573年的黃金數是16,查表得到復活節望日是3月21日。從星期表得到該日是週六,因此復活節是其後的週日3月22日。
這個方法由以數學家高斯命名。
用Y表示年份,mod運算指整數除法的餘數(例如13 mod 5 = 3,詳細請參見同餘)。
東正教會所用的儒略曆取M=15,N=6,西方教會所用的公曆的取法參見下表:
年份 M N 1583-1699 22 2 1700-1799 23 3 1800-1899 23 4 1900-2099 24 5 2100-2199 24 6 2200-2299 25 0
若d+e < 10則復活節在3月(d+e+22)日,反則在4月(d+e-9)日,除了兩個特殊情況:
Jean Meeus在他的書《天文演算法》(Astronomical Algorithms,1991年)記載了這個計算公曆中的復活節日期的方法,並指這個方法是來自Spencer Jones的書《一般天文學》(General Astronomy,1922年)和《英國天文學會期刊》(Journal of the Brithish Astronomical Association,1977年),後者指方法是來自Butcher's Ecclesiastical Calendar(1876年)。
這個方法的優點是不用任何表也沒有例外的情況。注意這裏用的是整數除法,7/2=3非3.5。
Worked Example Year(Y) = 1961 |
Worked Example Year(Y) = 2000 | |
a = Y mod 19 | 1961 mod 19 = 4 | 2000 mod 19 = 5 |
b = Y / 100 | 1961 / 100 = 19 | 2000 / 100 = 20 |
c = Y mod 100 | 1961 mod 100 = 61 | 2000 mod 100 = 0 |
d = b / 4 | 19 / 4 = 4 | 20 / 4 = 5 |
e = b mod 4 | 19 mod 4 = 3 | 20 mod 4 = 0 |
f = (b + 8) / 25 | (19 + 8) / 25 = 1 | (20 + 8) / 25 = 1 |
g = (b - f + 1) / 3 | (19 - 1 + 1) / 3 = 6 | (20 - 1 + 1) / 3 = 6 |
h = (19 * a + b - d - g + 15) mod 30 | (19 * 4 + 19 - 4 - 6 + 15) mod 30 = 10 | (19 * 5 + 20 - 5 - 6 + 15) mod 30 = 29 |
i = c / 4 | 61 / 4 = 15 | 0 / 4 = 0 |
k = c mod 4 | 61 mod 4 = 1 | 0 mod 4 = 0 |
l = (32 + 2 * e + 2 * i - h - k) mod 7 | (32 + 2 * 3 + 2 * 15 - 10 - 1) mod 7 = 1 | (32 + 2 * 0 + 2 * 0 - 29 - 0) mod 7 = 3 |
m = (a + 11 * h + 22 * l) / 451 | (4 + 11 * 10 + 22 * 1) / 451 = 0 | (5 + 11 * 29 + 22 * 3) / 451 = 0 |
month = (h + l - 7 * m + 114) / 31 | (10 + 1 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April) | (29 + 3 - 7 * 0 + 114) / 31 = 4 (April) |
day = ((h + l - 7 * m + 114) mod 31) + 1 | (10 + 1 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 2 | (29 + 3 - 7 * 0 + 114) mod 31 + 1 = 23 |
1961年4月2日 | 2000年4月23日 |
在《天文演算法》,使用了以下公式計算儒略曆中的復活節日期:(注意這裏用的是整數除法,7/2=3非3.5。)
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