序拓撲

數學上，序拓撲是可以定義在任意全序集上的拓撲結構。 此為將實數的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。 具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為序空間。

如果 X 為全序集，則 X 的序拓撲由無界開區間

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\mid a<x\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}}$

組成的準基生成，其中 a,b 取遍 X 的所有元素。這等價於，開區間

${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$

連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， X 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的（允許無窮）並。

若可對一個拓撲空間 X 的元素定義一個全序，使得該全序給出的序拓撲就是 X 自身的拓撲，則稱 X 為可序化的 。 X 上的序拓撲使 X 成為一個完全正規的豪斯多夫空間。

實數集 ${\displaystyle \mathbb {R} }$、有理數集 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$、整數集 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 和自然數集 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 上的標準拓撲均為序拓撲。然而，無理數集 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ 上的標準拓樸並不是序拓樸。

誘導拓撲

若 Y 為 X 的子集，則 Y 繼承了 X 的全序。Y 因此具有序拓撲結構， 稱為導出拓撲。作為 X 的子集，Y 還有一個子空間拓撲。子空間拓撲至少比誘導拓撲更精細，但一般情況下它們不相同。

例如，考慮有理數集的子集 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 。 在子空間拓撲中，單元集 {-1} 在 Y 中是開集，但在誘導拓撲中，任何含有 -1 的開集都必須包含 Y （除有限個以外）的所有元素。

全序空間的子空間拓撲不一定可序化

雖然上述 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 的子空間拓撲不是由 Y 的誘導排序產生，它仍是 Y 上的序拓撲；事實上，在子空間拓撲中，每一點都是孤立的（即，單元集 {y} 是 Y 的開集），故子空間拓撲是 Y 上的離散拓撲（使得每一個子集都是 Y 的開集)，而任何集上的離散拓撲都是序拓撲。要定義 Y 的全序使得其產生的序拓撲是 Y 上的離散拓撲，只需修改 Y 上的誘導排序，使得 -1 是最大的元素，並保持其他元素的大小次序。於是，在新的排序（稱為 <₁ ）中，有 1/n <₁ -1 對任意 n∈N 均成立。這樣，<₁ 在 Y 中給出的序拓撲是離散的。

以下將定義一個序空間 X 及其子集 Z ，使得不存在 Z 上的全序給出一個序拓撲與 Z 的子空間拓撲完全一樣。換言之，儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲，其不為序拓撲。

取 ${\displaystyle Z=\{-1\}\cup (0,1)}$ 為實數軸的子集。同上可知，Z 上的子空間拓撲不等於 Z 上誘導的序拓撲。且可證，Z 上的子空間拓撲不等於 Z 上的任何序拓撲。

用反證法。假設 Z 有一個嚴格全序 < ，使得 < 給出的序拓撲等於 Z 的子空間拓撲（注意，並未假定 < 是 Z 上的誘導排序，即 < 可以是任意一種新的全序）。區間也相應地按 < 理解，下同。 此外，如果 A 和 B 是集合，則 ${\displaystyle A<B}$ 表示：對任意 A 的元素 a 和 B 的元素 b ，都有 ${\displaystyle a<b}$ 。

設 M=Z \{-1} 為單位開區間，則 M 連通。若 m,n ∈ M 且 m<-1<n ，則 ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$ 和 ${\displaystyle (-1,\infty )}$ 是 M 的分隔，矛盾。因此，M<{-1} 或者 {-1}<M 。不妨設 {-1}<M 。因 {-1} 是 Z 的開集，存在 M 中的一點 p 使得 (-1, p ) 為空。又因 {-1}<M ，-1 是唯一小於 p 的元素，因此 p 是 M 中最小的。但這樣，M \ {p}=A ∪ B，其中 A 和 B 是實軸上不相交的兩個開集（從實軸上的開區間去除一點，剩下的是兩個開區間）。由連通性，沒有 Z \B 中的點在排序後介於 B 的兩點之間，也沒有 Z \A 中的點在排序後介於 A 的兩點之間。因此，任何一個 A<B 或 B<A. 又不妨設 A<B. 如果 a 為 A 中任何一點，則 p<a ，且 (p, a)${\displaystyle \subseteq }$A. 又 (-1, a) = [p, a)，因此 [p, a) 是開集。而 {p}∪A = [p, a)∪A，因此 {p }∪A 是 M 的開子集，因此 M = ({p }∪A) ∪ B 把 M 分割成兩個不相交的開集，這與 M 連通矛盾。

拓撲結構為序拓撲的空間稱為序空間，而序空間的子空間稱為廣義序空間。因此，以上例子 Z 是一個廣義序空間，但不是一個序空間。

左、右序拓撲

類似的拓撲結構有：

• X 上的右序拓撲，其具有 (a, ∞) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。^[1]
• X 上的左序拓撲，其具有 (−∞, b) 形式的開集（包括 (-∞, ∞) ）。

左序拓撲和右序拓撲可作為點集拓撲學上的一些反例。例如，有界集上的左序拓撲或右序拓撲是緊空間，但不是豪斯多夫的。

集合論裏，左序拓撲給出一個布爾代數上的標準拓撲。

序數空間

對於任何序數 λ ，序數集

${\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}}$

${\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}$

具有自然的序拓撲結構。這種拓撲空間空間稱為序數空間。（注意，按照集合論通常構造序數的方法，有 λ =[0,λ) 和 λ +1=[0,λ] ）顯然，當 λ 為無窮序數時，情況較複雜；否則，對於有限的序數，其序拓撲是簡單的離散拓撲。

當 λ = ω （最小的無窮序數）時，空間 [0,ω) 只是 N 及其往常的離散拓撲，而 [0,ω] 則是單點緊化的 N 。

主條目：首個不可數序數

當 λ = ω₁ （即所有可數序數組成的集合）時，情況有所不同。元素 ω₁ 是子集 [0,ω₁) 的極限點，但不存在 [0,ω₁) 中的序列以 ω₁ 為極限。確切地說，[0,ω₁]不是第一可數的。然而，子空間 [0,ω₁) 是第一可數的，因為唯一無可數鄰域系的點是 ω₁. 其他性質包括

• [0,ω₁) 和 [0,ω₁] 皆不可分，也不第二可數。
• [0,ω₁] 是緊的，同時 [0,ω₁) 序列緊且可數緊，但不是緊的，也不是仿緊的。

參見

• 長直線

參考資料

1. Steen, p. 74 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.