完備性

在數學及其相關領域中，一個物件具有完備性（英語：Completeness），即它不需要添加任何其他元素，這個物件也可稱為完備的或完全的。更精確地，可以從多個不同的角度來描述這個定義，同時可以引入完備化這個概念。但是在不同的領域中，「完備」也有不同的含義，特別是在某些領域中，「完備化」的過程並不稱為「完備化」，另有其他的表述，請參考代數閉體、緊化或哥德爾不完備定理。

• 一個度量空間或均勻空間被稱為「完備的」，如果其中的任何柯西列都收斂，請參看完備空間。

• 在泛函分析中，一個拓撲向量空間${\displaystyle V}$的子集${\displaystyle S}$被稱為是完全的，如果${\displaystyle S}$的擴張在${\displaystyle V}$中是稠密的。如果${\displaystyle V}$是可分空間，那麼也可以匯出${\displaystyle V}$中的任何向量都可以被寫成${\displaystyle S}$中元素的（有限或無限的）線性組合。更特殊地，在希爾伯特空間中（或者略一般地，在線性內積空間（inner product space）中），一組標準正交基就是一個完全而且正交的集合。

• 一個測度空間是完全的，如果它的任何零測集（null set）的任何子集都是可測的。請檢視完全測度空間（complete measure）。

• 在統計學中，一個統計量被稱完備的，如果不存在由其構造的非平凡的0的無偏估計量（estimator）。

• 在圖論中，一個圖被稱為完全的，如果這個圖是無向圖，並且任何兩個頂點之間都恰有一條邊連接。

• 在範疇論，一個範疇${\displaystyle C}$被稱為完備的，如果任何一個從小範疇到${\displaystyle C}$的函子都有極限。而它被稱為上完備的，如果任何函子都有一個上極限。請檢視範疇論中的極限定義。

• 在序理論和相關的領域中，如格和疇（域理論）中，全序性（completeness）一般是指對於偏序集存在某個特定的上確界或下確界。值得特別注意的是，這個概念在特定的情況下也應用於完全布林代數，完全格和完全偏序。並且一個有序體被稱為完全的，如果它的任何在這個域中有上界的非空子集，都有一個在這個域中的最小上界；注意這個定義與序理論中的完全有界性（bounded complete）有細小的差別。在同構的意義下，有且僅有一個完全有序體，即實數。

• 在數理邏輯，一個理論被稱為完備的，如果對於其語言中的任何一個句子${\displaystyle S}$，這個理論包括且僅包括${\displaystyle S}$或${\displaystyle \neg S}$。一個系統是相容的，如果不存在同時${\displaystyle P}$和非${\displaystyle P}$的證明。哥德爾不完備定理證明了，包含皮亞諾公理的所有公理系統都是不可能既完備又相容的。下面還有一些邏輯中關於完備性的定義。

• 在證明論和相關的數理邏輯的領域中，一個形式的演算相對於一個特定的邏輯（即相對於它的語意）是完備的，如果任何由一組前提${\displaystyle Q}$根據語意匯出的陳述${\displaystyle P}$，都可以從這組前提出發利用這個演算語法地匯出。形式地說，${\displaystyle G\models P}$匯出${\displaystyle G\vdash P}$ 。一階邏輯在這個意義下是完備的。特別地，所有邏輯的重言式都可以被證明。即使在經典邏輯中，這與前述的完備性是不同的（即一個陳述和否定陳述對於這個邏輯而言不可能是重言式）。相反的概念被稱為可靠性（soundness）。

• 在計算複雜度理論中，一個問題${\displaystyle P}$對於一個複雜度類別${\displaystyle C}$，在某個給定類型的歸約下是完全的（完備 (複雜度)），如果${\displaystyle P}$在${\displaystyle C}$中，並且${\displaystyle C}$中的任何問題利用該歸約都可以化歸到${\displaystyle P}$。例如，NP完全問題在NP類和多項式時間和多對一歸約的意義下是完全的。