復微分形式

數學中，復微分形式是（復）流形上具有復係數的微分形式。

復形式在微分幾何中有廣泛的應用，在複流形上是十分基本的，是代數幾何、凱勒幾何、霍奇理論的基礎；在非複流形上，也在殆復結構、旋子理論和CR結構的研究中發揮作用。

一般來說，之所以考慮復形式是因為它允許一些理想的分解。例如，複流形上任何復k形式都可唯一分解為所謂${\displaystyle (p,\ q)}$形式之和，它大致是全純坐標的p微分與其復共軛的q微分的楔。${\displaystyle (p,\ q)}$形式的組合是研究的主要對象，在流形上確定了比k形式精細的幾何結構。還存在更精細的結構，比如霍奇理論所應用的情形。

複流形上的微分形式

設M是復維度為n的複流形，則有包含n個復值函數${\displaystyle z^{1},\ \dots ,\ z^{n}}$的局部坐標系，使得片（patch）之間的坐標變換是這些變量的全純函數。復形式空間帶有豐富的結構，在基礎上取決於變換函數為全純的事實，而不只是光滑。

1形式

先看1形式。首先，將復坐標分解為實部和虛部：${\displaystyle \forall j,\ z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$。令

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

可見任何復係數微分形式都可唯一寫成和

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

令${\displaystyle \Omega ^{1,\ 0}}$為只含${\displaystyle dz}$的復微分形式空間，${\displaystyle \Omega ^{0,\ 1}}$為只含${\displaystyle d{\bar {z}}}$的復微分形式空間。可以證明，由柯西–黎曼方程，空間${\displaystyle \Omega ^{1,\ 0},\ \Omega ^{1,\ 0}}$在全純坐標變換下穩定；即，若選擇不同的全純坐標系${\displaystyle w_{i}}$，${\displaystyle \Omega ^{1,\ 0}}$的元素將按旋子的方式變換，${\displaystyle \Omega ^{0,\ 1}}$中的元素也如此。於是，空間${\displaystyle \Omega ^{0,\ 1},\ \Omega ^{1,\ 0}}$決定了複流形上的復向量叢。

高次形式

復微分形式楔積的定義與實形式相同。令p、q是一對非負整數≤ n，${\displaystyle (p,\ q)}$形式的空間${\displaystyle \Omega ^{p,\ q}}$定義為${\displaystyle \Omega ^{1,\ 0}}$中p個元素與${\displaystyle \Omega ^{0,\ 1}}$中q個元素之楔積的線性組合，也就是

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}}$

其中有${\displaystyle \Omega ^{1,\ 0}}$的p個因子和${\displaystyle \Omega ^{0,\ 1}}$的q個因子。它們在全純坐標變換下是不變的，於是定義了向量叢。

若${\displaystyle E^{k}}$是總次數為k的所有復微分形式的空間，則${\displaystyle E^{k}}$的每個元素都可唯一表為空間${\displaystyle \Omega ^{p,\ q}\ (p+q=k)}$中元素的線性組合。更簡潔地說，有直和分解

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

由於此直和分解在全純坐標變換下穩定，所以它還決定了向量叢分解。

特別地，對所有滿足${\displaystyle p+q=k}$的k、p、q，都有向量叢上的規範射影

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

鐸爾博爾算子

一般的外導數定義了截面映射${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$：

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

外導數自身沒有反映流形上更剛性的復結構。

用d和上小節定義的射影，可以定義鐸爾博爾算子：

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

要用局部坐標描述這些算子，可令

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

其中I、J是多重指標。則

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

可認為具有如下性質：

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

這些算子及其性質形成了鐸爾博爾上同調與霍奇理論中很多方面的基礎。

複流形的星形域上，鐸爾博爾算子具有對偶同倫算子^[1]，是來自d的同倫算子的分裂^[1]，這是複流形上的龐加萊引理的一部分內容。

${\displaystyle {\bar {\partial }},\ \partial }$的龐加萊引理可以進一步推廣到局部${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$引理，指出d正合復微分形式也是${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$正合的。在緊凱勒流形上，局部${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$引理有一個全局形式，稱作${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$引理。這是霍奇理論的結果，指出：全局d正合的復微分形式（即在德拉姆上同調中的類是零）是全局${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$正合的。

全純形式

對每個p，全純p形式是叢${\displaystyle \Omega ^{p,\ 0}}$的全純截面。局部坐標系中，全純p形式可以寫作

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

其中${\displaystyle f_{I}}$是全純函數。等價地，由復共軛的獨立性，若且唯若${\displaystyle (p,\ 0)}$形式α滿足下式時，是全純的：

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

全純p形式的層常常寫作${\displaystyle \Omega ^{p}}$，不過這種寫法有歧義，所以很多人會用其他寫法。

另見

• 鐸爾博爾復形
• 弗羅利克譜序列
• 第一類微分

參考文獻

1. Kycia, Radosław Antoni. Section 4. The Poincare Lemma, Antiexact Forms, and Fermionic Quantum Harmonic Oscillator. Results in Mathematics. 2020, 75 (3): 122. ISSN 1422-6383. S2CID 199472766. arXiv:1908.02349 . doi:10.1007/s00025-020-01247-8  （英語）.

• P. Griffiths; J. Harris. Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. 1994: 23–25. ISBN 0-471-05059-8.
• Wells, R. O. Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. 1973. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire. Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I. Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0521718011.