星形域

在數學中，一個歐幾里得空間Rⁿ中的集合${\displaystyle S}$稱為星形域（star domain）或星形凸集（star-convex set），意思是存在${\displaystyle S}$中的點${\displaystyle x_{0}}$，使得對於${\displaystyle S}$中的所有${\displaystyle x}$，從${\displaystyle x_{0}}$到${\displaystyle x}$的線段也位於${\displaystyle S}$內。這個定義可以立刻推廣到任何實或複向量空間。

星形域（星形凸集）不一定是通常意義下的凸集。

環形不是星形域。

直觀地，如果我們把${\displaystyle S}$視為用圍牆包圍的一個區域，那麼${\displaystyle S}$是一個星形域，意思是我們可以在${\displaystyle S}$中找到一個着眼點${\displaystyle x_{0}}$，使得${\displaystyle S}$中的任何點${\displaystyle x}$都在該點的視線內。

例子

• Rⁿ中的任何直線或平面都是星形域。
• 一條直線或一個平面去掉一個點就不是星形域。
• 如果A是Rⁿ中的一個集合，那麼把A的任何點與原點相連而得到的集合

${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$

是一個星形域。

性質

• 任何非空凸集都是星形域。一個集合是凸集，若且唯若它關於該集合中的任何點都是星形域。
• 十字形狀是星形域，但不是凸集。
• 一個星形域的閉包也是星形域，但一個星形域的內部不一定是星形域。
• 任何星形域都是可縮集合，即與單點空間同倫等價，因為有一個直線同倫。特別地，任何星形域都是單連通集合。
• 兩個星形域的併集和交集不一定是星形域。
• Rⁿ中的非空開星形域S與Rⁿ微分同胚。

參見

• 美術館問題
• 星形多邊形
• 平衡集

參考文獻

• Ian Stewart, David Tall, Complex Analysis. Cambridge University Press, 1983. ISBN 0-521-28763-4.

• C.R. Smith, A characterization of Star-shaped sets, American Mathematical Monthly, Vol. 75, No. 4 (April 1968). pp. 386.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Star convex. MathWorld.