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在地圖學中，地圖投影（英語：map projection）是一種將地球表面展平的方法，以便製作地圖，這就需要一種方法將球面上的點轉換為平面上的點。[1] 將球體投影到平面上，球面必然會有一定程度的變形，根據地圖的目的，有些變形是可以接受的，有些則是不可以接受的，因此，為了保留球面的某些性質而犧牲其他性質，就存在不同的地圖投影。[2]:1 研究地圖投影就是研究變形的特徵。潛在的地圖投影有無數種。投影是一些純數學領域的主題，包括微分幾何、射影幾何和流形，然而「地圖投影」是特指製圖投影。
儘管名字的字面意思是這樣的，但投影並不限於透視投影，例如在屏幕上投射陰影所產生的投影，或者針孔相機在平面膠捲板上產生的直線圖像。相反，任何將坐標從曲面清晰而平穩地轉換到平面的數學函數都是投影。實際使用中很少有投影是透視的。
本文大部分內容都是假設要測繪的表面是球面。地球和其他大型天體一般以扁球形為較好的模型，而小行星等小型天體則常為不規則形狀。行星體的表面即使是不規則的，不能用球體或橢球體很好地建模，也可以繪製地圖。[3] 因此，更一般地說，地圖投影是將連續的曲面展平到一個平面上的任何方法。
模型地球儀不會像地圖那樣讓地表關係變形，但地圖在許多情況下更有用：它們更緊湊，更容易儲存；它們很容易容納大量的比例尺；它們很容易在計算機顯示器上查看；它們可以被測量以找到被測繪區域的屬性；它們可以同時顯示地球表面的更大部分；它們的生產和運輸更便宜。地圖的這些有用的特點促使人們開發地圖投影。
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許多屬性可以在地球表面測量，與地理環境無關。
地圖投影的構造可以以犧牲其他屬性為代價來保留其中的一些屬性。由於彎曲的地球表面與平面不是等距的，因此，保留形狀不可避免地會導致比例尺的變化，從而導致區域的非比例表現。反之亦然，保留面積的投影不可能是保形的，導致地圖上大部分地方的形狀和方位失真。每一種投影都以不同的方式保留、妥協或近似於基本的度量屬性。地圖的目的決定了哪種投影應該構成地圖的基礎。由於地圖存在許多目的，因此創造了多種多樣的投影以適應這些目的。
投影構造的另一個考慮因素是它與地圖上要使用的數據集的兼容性。數據集是地理資訊；它們的收集取決於所選擇的地球基準（模型）。不同的基準為同一位置分配的坐標略有不同，因此在大比例尺地圖中，如國家測繪系統的地圖，將基準與投影相匹配非常重要。不同基準之間坐標分配的細微差異對於世界地圖或其他廣袤的地域來說並不重要，因為在那裏這種差異會縮小到無法察覺的程度。
卡爾·弗里德里希·高斯的絕妙定理證明了球面不可能在平面上不失真地表現出來，這同樣適用於其他用於地球模型的參考面，如扁球體、橢球體和地球儀。同樣的道理也適用於其他用作地球模型的參考面，如扁球面、橢球面和大地水準面。由於任何地圖投影都是這些曲面之一在平面上的表現，因此所有地圖投影都會變形。
顯示投影固有變形的經典方法是使用Tissot變形橢圓。對於一個給定的點，利用沿子午線的比例因子 h，沿緯線的比例因子 k，以及它們之間的角度 θ′，Nicolas Tissot描述了如何構建一個橢圓，以描述變形成分的數量和方向。[2]:147–149[4] 通過沿子午線和緯線有規律地排列橢圓，指示線網絡顯示了整個地圖的失真變化情況。
已經有許多其他方法來描述投影中的變形。[5][6] 像Tissot變形橢圓一樣，Goldberg-Gott指示線也是以無限小圓為基礎的，它描述了彎曲和偏斜變形。[7]
有些視覺方法不是像Tissot的指示線那樣，用原始的（放大的）無限小圓來投影，而是用有限的形狀來投影地圖的一部分。例如，一個固定半徑的小圓（如15度角半徑）。[8] 有時也使用球面三角形。在20世紀上半葉，將一個人的頭部投射到不同的投影上是很常見的，以顯示在一個投影上與另一個投影上的失真如何變化。[9] 在動態媒體中，熟悉的海岸線和邊界的形狀可以在交互式地圖上拖動，以顯示投影如何根據地圖上的位置扭曲大小和形狀。[10]
另一種視覺化局部變形的方法是通過灰度或顏色漸變，其陰影代表角度變形或等高線膨脹的大小。有時，通過混合兩種顏色來創建一個二元地圖，兩者同時顯示。[11]
在全局範圍內而不是只在一個點上描述失真的問題是，它必然涉及到選擇優先級以達成妥協。一些方案使用距離失真作為角度變形和等高線膨脹二者結合的指標；這種方法任意選擇要測量的路徑和如何加權，以產生單一結果。已經用來描述許多種投影。[7][12][13][14][15]
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地圖投影的創建包括兩個步驟：
- 選擇地球或行星體形狀的模型（通常選擇球面或橢球面）。由於地球的實際形狀是不規則的，所以在這一步驟中會丟失信息。
- 將地理坐標（經度和緯度）轉換為笛卡爾坐標 (x,y) 或極坐標。在大比例尺地圖中，笛卡爾坐標通常與東經和北緯有簡單的關係，定義為疊加在投影上的網格。在小比例尺地圖中，東經和北緯沒有意義，網格也沒有疊加。
一些最簡單的地圖投影是字面意義上的投影，通過將光源放置在相對於地球儀的某個確定的點上，並將其特徵投影到指定的表面上而得到的。雖然大多數投影不是以這種方式定義的，但描繪光源-地球模型可以幫助理解地圖投影的基本概念。
能展開成平面而不發生拉伸、撕裂或收縮的曲面稱為可展曲面。圓柱、圓錐和平面都是可展曲面。球面和橢圓面沒有可展開的表面，所以把它們投影到平面上都要變形。（打個比方，把橘子皮壓平，就不能不使其撕裂和變形。）
描述投影的一種方法是，先從地球表面投影到一個可展曲面，如圓柱或圓錐，然後再把這個表面展開成一個平面。雖然第一步不可避免地會使地球儀的某些特性發生扭曲，但可展開的表面就可以不發生進一步的變形。
一旦選擇了投影到圓柱、圓錐或平面上，就必須指定形狀的朝向（aspect）。朝向描述了可展曲面相對於地球的位置：它可以是法向（使曲面的對稱軸與地軸重合）、橫向（與地軸成直角）或斜向（兩者之間的任何角度）。
可展曲面也可以是與球面或橢球面相切或相割的表面。相切是指曲面與地球接觸但不切開地球；相割是指曲面會切開地球。將可展曲面從與地球的接觸處移開，永遠不會保持或改善度量特性，所以這裏不進一步討論這種可能性。
切線和割線（標準線）是不變形的。如果這些線是緯線的平行線，如在圓錐投影中，則稱為標準平行線。中心子午線是地球在投影前所旋轉到的子午線。中心子午線（通常寫為 λ0）和原點平行線（通常寫為 φ0）通常用來確定地圖投影的原點。[16][17]
地球儀是代表地球的唯一方法，它在整個地圖的所有方向上都具有恆定的比例。地圖無法在任何區域實現這一屬性，無論區域有多小。然而，它可以沿着特定的線實現恆定的比例尺。
一些可能的屬性是：
投影構造還受到如何近似地球或行星體形狀的影響。在下面關於投影類別的一節中，為了簡化討論，將地球作為一個球體。但是，地球的實際形狀更接近於長圓橢球體。不管是球體還是橢球體，所討論的原則都是成立的，而不失通用性。
選擇地球形狀的模型涉及到在球面與橢球面的優缺點之間進行選擇。球面模型對於小比例尺的地圖如世界地圖集和地球儀是有用的，因為該比例尺的誤差通常不明顯或不重要，不足以證明使用更複雜的橢球體是合理的。橢球面模型通常用於繪製地形圖和其他需要精確描繪陸地表面的大中型地圖。輔助緯度常用於投影橢球面。
第三種模型是大地水準面，它是一種更複雜、更精確的地球形狀表示，與沒有風、潮汐或陸地時的平均海平面相吻合。與最密合橢球面（英語：best fitting ellipsoid）相比，大地水準面模型將改變重要性質的表徵，如距離、保形性和等值性。因此，在保留這類性質的大地水準面投影地圖中，地理坐標網會偏離橢球面地圖的地理坐標網。但通常情況下，大地水準面不會被用作地球模型進行投影，因為地球的形狀是非常規則的，大地水準面的起伏量與橢球面模型相差不到100米（而地球半徑是630萬米）。但對於不規則的行星體，如小行星，有時會用類似於大地水準面的模型來推算地圖。[18][19][20][21][22] 其他規則固體有時被用作較小天體大地水準面等效的一般化。例如，木衛一最好用三軸橢球面或偏心率較小的橢球面來建模。吸器的形狀是一個雅可比橢圓體，其長軸是次長軸的兩倍，妊神星的形狀是雅各比橢球面，其長軸是短軸的2倍，中軸是短軸的1.5倍。
一個基本的投影分類是基於地球所投影的投影面的類型。投影其實就是將一個巨大的曲面與地球接觸，然後進行隱含的縮放操作。這些曲面有圓柱面（如麥卡托投影）、圓錐面（如亞爾勃斯投影）和平面（如球極平面投影）。然而，許多數學投影並不能整齊地歸入這三種概念投影方法中的任何一種。因此，文獻中還描述了其他的同級分類，如偽圓錐投影、偽圓柱投影、偽方位投影、反方位投影和多圓錐投影。
對投影進行分類的另一種方法是根據它們所保存的模型的屬性。一些比較常見的類別有：
- 保方向（方位投影），僅限從一個或兩個點到其他點的特徵[23]
- 局部保形（正形投影）
- 保面積（等面積）
- 保距離（等距），僅限從一個或兩個點到其他點的特徵
- 保最短路徑，只有球心投影才會保留的特徵
因為球面不是一個可展曲面，所以不可能構造一個既等面積又保形的地圖投影。
三種可展曲面（平面、圓柱體、圓錐體）為理解、描述和開發地圖投影提供了有用的模型。然而，這些模型在兩個基本方面受到限制。首先，大多數使用中的世界投影並不屬於這些類別。另外，即使是大多數屬於這些類別的投影，也不能自然地通過物理投影來實現。正如L.P.Lee所指出的那樣，
在上述定義中沒有提到圓柱面、圓錐面或平面。這些投影被稱為圓柱面或圓錐面投影，因為它們可以被認為是在圓柱面或圓錐面上展開起來的，視情況而定，但最好不要把圓柱面和圓錐面想像成圓柱面和圓錐面，因為它們已經引起了許多誤解。特別是對於有兩個標準平行線的圓錐投影來說更是如此：它們可以被看作是在圓錐上發展起來的，但它們是與球體沒有簡單關係的圓錐。實際上，圓柱面和圓錐面為我們提供了方便的描述性術語，而不是別的什麼。[24]
Lee的反對意見是指在地圖投影領域，圓柱形、圓錐形和平面（方位角）等術語被抽象化的方式。如果地圖的投影就像光線通過地球照射到可展曲面一樣，那麼平行線的間距將遵循一套非常有限的可能性。例如這樣的圓柱形投影是:
- 長方形的;
- 都有垂直的子午線，間隔均勻;
- 與赤道呈平行對稱分佈;
- 當光線通過地球照射到圓柱體上時，它們會落在平行線上，光源位於本初子午線與赤道的交點，以及球體中心所形成的線上。
（如果你在投射之前旋轉地球，那麼緯線和經線不一定還是直線。為了分類，通常忽略轉動。）
光源沿着最後一個約束所描述的線發射的地方，就是產生各種「自然」圓柱形投影之間的差異的地方。 但是，在地圖投影領域中使用的圓柱一詞完全放寬了最後一個約束。 相反，平行線可以根據設計者決定的任何算法放置，以適應地圖的需要。在著名的麥卡托投影中，平行線的位置不是通過投影產生的，而是按照需要的方式放置，以滿足恆定方向角的軌跡始終繪製為直線的性質。
正圓柱投影是將經線映射到等距的垂直線上，將緯度圈（平行線）映射到水平線上的任何投影。
通過想像一個軸線與地球自轉軸線重合的圓柱，可以視覺化經線到垂直線的映射關係。這個圓柱體環繞地球，投射到地球上，然後展開。
根據其構造的幾何學原理，圓柱投影會拉伸東西方向的距離。在任何特定的緯度上，所有圓柱投影的拉伸量都是相同的，其大小是緯度的正割乘以赤道處的比例尺。各種圓柱投影之間的區別僅在於它們的南北向拉伸量（其中緯度用 φ 表示）：
- 南北拉伸等於東西拉伸（sec φ）：東西比例尺與南北比例尺一致：保形圓柱投影或麥卡托投影；這使高緯度地區過度變形（另見橫軸麥卡托）。
- 南北拉伸比東西延伸得快（sec2φ）。圓柱透視投影（或圓柱中心投影）；不宜使用，因為變形比麥卡托投影更嚴重。
- 南北拉伸隨緯度增長，但不如東西拉伸快：如米勒圓柱投影（sec 4/5φ）。
- 南北距離既不拉伸也不收縮（1）：等量矩形投影 或者「簡易圓柱投影」（plate carrée）。
- 南北收縮等於緯度的餘弦（東西向拉伸的倒數）：等積圓柱投影。這類投影有很多種，這些投影只在縮放常數上面不一樣，比如高爾-彼得斯投影（在45°緯線上不變形）。貝爾曼投影（30°緯線處不變形），以及朗伯等積圓柱投影（在赤道處不變形）。由於這種投影是以東西拉伸程度的倒數來縮放南北距離的，它保面積的代價是形狀會改變。
在第一種情況下（麥卡托投影），東西比例尺總是等於南北比例尺。在第二種情況下（圓柱中心投影），南北比例尺在遠離赤道的地方都超過東西比例尺。其餘的每種情況都有一對割線——一對符號相反的相同緯度（或赤道），在這對緯度上，東西比例尺與南北比例尺一致。
正圓柱投影將整個地球映射為一個有限的矩形，但前兩種情況除外；在前兩種情況下，矩形會無限延伸，同時保持寬度不變。
偽圓柱投影將中央經線表示為一條直線段。其他經線比中央經線長，向外彎曲，遠離中央經線。偽圓柱投影把緯線映射為直線。沿着緯線，從地表出發的每一點與中心經線的距離都是按其與中心經線的經度差成比例繪製的。因此，沿某一緯線的經線間距相等。在偽圓柱投影地圖上，任何一點離赤道的距離比另一點更遠，其緯度就比另一點高，保持了南北關係。這一特徵在說明氣候等依賴緯度的現象時很有用。偽圓柱投影的例子包括：
- 正弦投影，這是最早發展起來的偽圓柱投影。與現實情況相同，在地圖上每條緯線的長度與緯度的餘弦成正比。[25]任何區域的面積都是真實準確的。
- 科里儂投影，最常見的形式是將每條經線表示為兩條直線段，從兩極各有一條直線段到赤道。
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HEALPix投影結合了赤道地區的等積圓柱投影和極地地區的科里儂投影。
「圓錐投影」用於指任何投影，其中經線被映射到從頂點輻射出來的等距線上，緯度圈（平行線）被映射到以頂點為中心的圓弧上。[26]
在繪製圓錐地圖時，地圖製作者會任意選擇兩條標準緯線。這些標準緯線可以被看作是圓錐與地球相交的割線，或者，如果地圖製作者兩次選擇同一緯線，則可以看作是圓錐與地球儀相切的切線。所得到的圓錐地圖在這些標準緯線附近的比例尺、形狀和面積上都有較低的失真。沿着兩條標準平行線以北的緯線或沿着兩條標準緯線以南的緯線的距離被拉長；沿着標準緯線之間的緯線的距離被壓縮。當使用單一標準緯線時，沿所有其他緯線的距離被拉長。
常用的圓錐投影有：
- 等距圓錐投影：緯線沿子午線均勻分佈，以保持每個子午線的恆定距離比例尺，通常與標準緯線的比例尺相同或相似。
- 亞爾勃斯投影：調整非標準緯線之間的南北距離，以補償東西向的拉伸或壓縮，從而得到等面積的地圖。
- 朗伯共形圓錐投影，它將非標準緯線之間的南北距離調整為等於東西向拉伸，從而形成保形圖。
- 彭納投影，這是一種等面積投影，大多數經線和緯線在其上被顯示為曲線。它有一個可配置的標準緯線，沿此不會發生變形。
- 維爾納投影，從一極到所有緯線的距離都是準確的。
- 美國多圓錐投影
方位投影的特性是，從中心點出發的方向被保留下來，因此通過中心點的大圓在地圖上用直線表示。這些投影在比例尺上也具有徑向對稱性，因此在變形上也具有徑向對稱性：地圖與中心點的距離由真實距離 d 的函數 r(d) 計算，與角度無關；相應地，以中心點為中心的圓被映射成以地圖上中心點為圓心的圓。
徑向線的映射可以通過想像一個與地球相切的平面，以中心點為切點來直觀地體現。
徑向比例尺為 r′(d)，橫向比例尺為 r(d)/(R sin d/R)，其中 R 為地球半徑。
有些方位投影是真正的透視投影；也就是說，它們可以機械地構造，通過從透視點（沿無限線通過切點和切點的反極點）延伸出的線，將地球表面投影到平面上：
- 球心投影將大圓顯示為直線。可以用地球中心的透視點來構造。 r(d) = c tan d/R；所以，即使只是一個半球也會映射到無限大的範圍。[27][28]
- 正投影將地球上的每一點映射到平面上最近的一點。可以從距離切點無限遠的透視點出發構造；r(d) = c sin d/R。[29] 可以在有限圓上顯示出最多一個半球。從足夠遠的地方拍攝的地球照片，如月球，近似於這種透視。
- 近側透視投影，模擬有限距離的空間景象，因此顯示的是不到一個完整的半球，如2012年的藍色彈珠中使用。[30]
- 一般透視投影可以通過使用地球以外的透視點來構建。地球的照片（如國際太空站的照片）可以提供這種透視。它是近邊透視投影的概括，允許傾斜。
- 球極平面投影是保形的，可以用切點的反極點作為透視點來構造。r(d) = c tan d/2R；比例尺為 c/(2R cos2 d/2R)。[31] 可以在有限的圓上顯示幾乎整個球體的表面。球體的全部表面需要一個無限大的地圖。
其他方位投影不是真正的透視投影：
- 方位等距投影：r(d) = cd；業餘無線電操作員用它來知道天線指向某點的方向，並看到與該點的距離。地圖上與切點的距離與地球上的表面距離成正比（切點為北極的情況，見聯合國會旗）
- 朗伯方位等積投影。地圖上切點的距離與通過地球的直線距離成正比：r(d) = c sin d/2R[32]
- 對數方位投影是通過讓每個點與地圖中心的距離是其與地球上切點距離的對數構造的。r(d) = c ln d/d0)；不顯示距離小於常數 d0 的位置。[33][34]
正形地圖投影能局部保留角度，這意味着它們能將地球上任何地方大小不變的無限小圓映射到地圖上大小不一的無限小圓上。相反，非保形的地圖會將大多數這樣的小圓變形成變形橢圓。保形的一個重要結果是地圖上每一點的相對角度都是正確的，而且任何一點周圍的每一個方向上的局部比例尺（雖然在整個地圖上是變化的）是恆定的。這就是一些正形投影：
等面積地圖保留了面積度量，一般都會變形以達到這一目的。這是一些保面積的投影：
如果連接平面上兩個投影點的線段長度與地球儀上兩個未投影點之間的測地線（最短面）距離成正比，那麼我們就說這兩個點之間的距離得到了保留。等距投影保留了一個或兩個特殊點到其他所有點的距離。特殊點在投影時可能會被拉伸成一條線或一條曲線段。在這種情況下，必須用直線或曲線段上最接近被測點的點來測量距離。
- 等距圓柱投影：在赤道方向上，兩極間的距離得到保留。
- 方位等距投影：中心與邊緣的距離得到保留。
- 等距圓錐投影：在赤道方向上，兩極間的距離得到保留。
- 維爾納投影：在赤道方向上，與北極點的距離得到保留。
- 兩點等距投影：兩個「軌跡點」由地圖製作者任意選取；各軌跡點間的距離得到保留。
大圓在其上顯示為直線：
- 球心投影
到固定位置B的方向（最短路線起點A的方位）對應於地圖上A到B的方向：
- 利特羅投影，唯一的保形方位投影。
- 哈默反方位投影，也保留了與中心點的距離。
- 克雷格反方位投影的所有子午線也都是垂直的。
折衷投影放棄了完全保留度量性質的想法，而是尋求在變形之間取得平衡，或者只是讓事情看起來正確。大多數這些類型的投影在極地地區比在赤道地區變形得更厲害。這些是一些折衷投影：
- 羅賓森投影
- 范德格林氏投影
- 米勒圓柱投影
- 溫克爾三重投影
- 戴美克森氏地圖投影
- 伯納德·J·S·卡希爾的蝴蝶地圖
- Kavrayskiy第七投影
- 瓦格納第六投影
- 張伯倫三點等距投影
- 奧龍斯·菲內的心形投影
- Authagraph投影
從數學角度來看，不會出現對各種場景都適用的投影。[35] 總是會有些東西要變形。因此，存在着許多投影，以滿足地圖的多種用途及其廣泛的比例尺。
現代國家測繪系統通常對大比例尺地圖採用橫軸麥卡托或近似變體，以在小範圍內比例尺的 保形、減小變化。對於較小比例尺的地圖，如跨越各大洲或整個世界的地圖，根據其適用性，許多投影都是常用的，如溫克爾三重投影、羅賓森投影和莫爾魏德投影。[36] 世界地圖通常使用折衷投影。由於任何世界地圖都存在固有的變形，投影的選擇在很大程度上成了一個美學問題。
專題地圖通常要求採用等面積投影，使單位面積上的現象能以正確的比例顯示。[37] 但是，正確地表示面積比例，必然比許多非等面積的地圖變形更大。
為導航而開發的麥卡托投影，經常用於世界地圖，但其實有其他投影更為合適。[38][39][40][41] 即使在非專業界領域，人們也早已認識到這個問題。例如，1943年《紐約時報》的一篇社論指出：
現在是時候拋棄（麥卡托）了，換一種能較少欺騙性地表示大陸和方向的投影……雖然它的用途已經減少，但它作為掛圖仍然非常受歡迎，部分原因顯然是，作為一幅長方形地圖，它用更多的地圖填滿了長方形的牆面空間，而且顯然是由於它的熟悉性帶來了更多的人氣。[2]:166
1980年代關於彼得斯地圖的爭論促使美國製圖協會（現為製圖和地理資訊協會）製作了一系列小冊子（包括《哪種地圖最好》[42]），旨在教育公眾了解地圖投影和地圖失真。1989年和1990年，經過一些內部辯論，七個北美地理組織通過了一項決議，建議反對使用任何矩形投影（包括麥卡托和高爾-彼得斯）作為世界參考地圖。[43][44]
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