因果結構

在數學物理學中，勞侖茲流形的因果結構是指流形中兩點間的因果關係。

簡介

在現代物理學（特別是廣義相對論）中，時空是用勞侖茲流形表示的。流形中兩點之間的因果關係可以用來描述時空中哪些事件可以影響到其他的哪些事件。

閔考斯基時空是勞侖茲流形的簡單代表。由於閔考斯基時空是平直的，因而其中兩點之間的因果關係非常容易表示。

任意勞侖茲流形（可能是彎曲的）的因果結構由於曲率的存在會較為複雜。對於這些流形中的因果結構的討論就得從有鄰點對的光滑曲線的角度來描述：首先討論曲線切向量的各種情況，然後給出因果關係的定義。

切向量

如果${\displaystyle \,(M,g)}$是一個勞侖茲流形（流形${\displaystyle M}$的度規為${\displaystyle g}$），那麼這個流形上任意點的切向量${\displaystyle X}$就可以分為下屬三種情況：

• 類時向量：${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• 零向量或類光向量：${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• 類空向量：${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

（度規的符號數（英語：metric signature）為${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$）。如果一個切向量是零向量或類時向量，那麼它就是「非類空向量」。這裏對各種切向量的命名方式是從閔考斯基時空中的情況推廣而來的。

時間的可定向性

${\displaystyle M}$中任意點的切空間中的類時切向量可以分為兩類。在此之前需要先定義兩個類時切向量的等價關係。

如果${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是一個點的兩個類時切向量，那麼在${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$時，${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是等價的（記作${\displaystyle X\sim Y}$）。

此時有兩個等價類可以包含這個點上的所有類時向量。其中一個可以稱作「指向未來」，另一個則可稱作「指向過去」。從物理意義上說，指定指向未來與指向過去的類時向量就是在選擇這個點的時間箭頭。指向未來類與指向過去類的定義可以通過連續性延伸到零向量。

那麼如果在整個流形上都可以連續地給出非類空向量「指向未來」與「指向過去」的定義，這個勞侖茲流形就是時間可定向的 。^[1]

曲線

${\displaystyle M}$中的「路徑」是指${\displaystyle \mathbb {R} }$中的連續映射${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$（其中${\displaystyle \Sigma }$是一個非退化區間，也就是包含多於一個點的連通集）。「光滑」路徑${\displaystyle \mu }$可以進行一定階的微分（通常是${\displaystyle C^{\infty }}$），而「正常」路徑有非零導數。

${\displaystyle M}$中的「曲線」是指路徑的圖像，或者更準確來說是通過再參數化給出的路徑-圖像等價類，也就是${\displaystyle \Sigma }$的同胚或微分同胚。當${\displaystyle M}$是時間可定向的時候，曲線在參數變化單調時就是「有朝向的」。

${\displaystyle M}$中的光滑正常曲線（或路徑）可以依據它們的切向量分類：

• 時序曲線（或類時曲線）：曲線中所有點的切向量是類時的。
• 零曲線：曲線中所有點的切向量是零向量。
• 類空曲線：曲線中所有點的切向量是類空的。
• 因果曲線（或非類空曲線）：曲線中所有點的切向量是類時向量或空向量。

${\displaystyle \Sigma }$的正則性與非退化性確保所有時空中不會自然地存在閉合的因果曲線（比如由單獨一點組成的因果曲線）。

如果流形可時間定向，那麼非類空曲線還可以依據它們的時間朝向進一步分類：

• 指向未來：曲線上任一點的切向量是指向未來的。
• 指向過去：曲線上任一點的切向量是指向過去的。

下面定義只能用於因果曲線（即時序曲線或零曲線），因為只有類時向量與零向量才能給定時間指向：

• 閉合類時曲線是指任一點的切向量都是指向未來類時向量（或指向過去類時向量）的閉合曲線。
• 閉合零曲線是指任一點的切向量都是指向未來零向量（或指向過去零向量）的閉合曲線。
• 紅移因子是指零測地線周圍仿射參數變化率比值的和樂（英語：holonomy）。

因果關係

${\displaystyle M}$流形中的兩個點${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$有以下幾類因果關係：

• ${\displaystyle x}$時序上先於${\displaystyle y}$（常記為${\displaystyle \,x\ll y}$）：從${\displaystyle x}$到${\displaystyle y}$存在一條指向未來的時序曲線。
• ${\displaystyle x}$因果上嚴格先於${\displaystyle y}$（常記為${\displaystyle x<y}$）：從${\displaystyle x}$到${\displaystyle y}$存在一條指向未來的因果（非類空）曲線。
• ${\displaystyle x}$因果上先於${\displaystyle y}$（常記為${\displaystyle x\prec y}$或${\displaystyle x\leq y}$）：${\displaystyle x}$因果上嚴格先於${\displaystyle y}$或${\displaystyle x=y}$。
• ${\displaystyle x}$定義（horismos）${\displaystyle y}$^[2]（常記為${\displaystyle x\to y}$或${\displaystyle x\nearrow y}$）：${\displaystyle x\prec y}$且${\displaystyle x\not \ll y}$。

這些關係是可以遞移的：^[3]

• 如果${\displaystyle x\ll y}$且${\displaystyle y\ll z}$，那麼${\displaystyle x\ll z}$。
• 如果${\displaystyle \,x\prec y}$且${\displaystyle \,y\prec z}$，那麼${\displaystyle \,x\prec z}$。

且滿足^[3]

• 如果${\displaystyle x\ll y}$，那麼${\displaystyle x\prec y}$。
• 如果${\displaystyle x\ll y}$且${\displaystyle y\prec z}$，那麼${\displaystyle x\ll z}$。
• 如果${\displaystyle x\prec y}$且${\displaystyle y\ll z}$，那麼${\displaystyle x\ll z}$。

對於流形${\displaystyle M}$中的一點${\displaystyle x}$可以定義：^[3]

• ${\displaystyle x}$時序上的未來（記作${\displaystyle \,I^{+}(x)}$）：${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$（${\displaystyle M}$中所有在時序上後於${\displaystyle x}$的點組成的集合）。
• ${\displaystyle x}$時序上的未來（記作${\displaystyle \,I^{-}(x)}$）：${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$（${\displaystyle M}$中所有在時序上先於${\displaystyle x}$的點組成的集合）。

類似還可以定義：

• ${\displaystyle x}$因果上的未來（也可以稱作「絕對未來」，記作${\displaystyle \,J^{+}(x)}$）：${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$（${\displaystyle M}$中所有在因果上後於${\displaystyle x}$的點組成的集合）。
• ${\displaystyle x}$因果上的過去（也可以稱作「絕對過去」，記作${\displaystyle \,J^{-}(x)}$）：${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$as（${\displaystyle M}$中所有在因果上先於${\displaystyle x}$的點組成的集合）。

從${\displaystyle x}$可以通過一條指向未來的類時曲線到達${\displaystyle \,I^{+}(x)}$中的任意點。類似地，還可以從${\displaystyle \,J^{-}(x)}$中任意點通過一條指向未來的非類空曲線到達${\displaystyle x}$。

在閔考斯基時空中，${\displaystyle \,I^{+}(x)}$就是${\displaystyle x}$處未來光錐的內部點組成的集合，而${\displaystyle \,J^{+}(x)}$就是${\displaystyle x}$處未來光錐的內部點及光錐上的點組成的集合。

${\displaystyle M}$中任意${\displaystyle x}$的${\displaystyle I^{+}(x)}$、${\displaystyle I^{-}(x)}$、${\displaystyle J^{+}(x)}$以及${\displaystyle J^{-}(x)}$就是${\displaystyle M}$的因果結構。

對於${\displaystyle M}$的子集${\displaystyle S}$可以定義：^[3]

${\displaystyle I^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }(S)=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

對於${\displaystyle M}$的兩個子集${\displaystyle S}$與${\displaystyle T}$可以定義：

• ${\displaystyle S}$相對於${\displaystyle T}$的時序上的未來（記作${\displaystyle I^{+}(S;T)}$）：子流形${\displaystyle T}$中的${\displaystyle S}$時序未來。需要注意這個概念與${\displaystyle I^{+}(S)\cap T}$之間的差別（${\displaystyle T}$中可以從${\displaystyle S}$中的點通過指向未來的類時曲線到達的點的集合）。在第一種概念中，那條曲線必須在${\displaystyle T}$裏面，而第二種則不用。
• ${\displaystyle S}$相對於${\displaystyle T}$的因果上的未來（記作${\displaystyle J^{+}(S;T)}$）：子流形${\displaystyle T}$中的${\displaystyle S}$因果未來。需要注意這個概念與${\displaystyle J^{+}(S)\cap T}$之間的差別（${\displaystyle T}$中可以從${\displaystyle S}$中的點通過指向未來的因果曲線到達的點的集合）。在第一種概念中，那條曲線必須在${\displaystyle T}$裏面，而第二種則不用。
• 未來集：在時序未來中的閉集。
• 過去集：在時序過去中的閉集。
• 不可分解過去集：不是由兩個不同的開放真子集組成的併集的過去集。
• 不可分解過去真子集：${\displaystyle I^{-}(x)}$。
• 不可分解過去端集（terminal indecomposable past set）：不是不可分解過去真子集的不可分解過去集。
• ${\displaystyle S}$的未來柯西發展（future Cauchy development，${\displaystyle D^{+}(S)}$）：所有不可伸展的指向過去的因果曲線與${\displaystyle S}$的交點${\displaystyle x}$（至少穿過一次）組成的集合。類似還可定義過去柯西發展。柯西發展是未來柯西發展與過去柯西發展的併集。柯西發展對於決定論研究非常重要。
• 子集${\displaystyle S\subset M}$與時間無關（achronal），當不存在${\displaystyle q,r\in S}$使${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$，或等價地，當${\displaystyle S}$與${\displaystyle I^{+}(S)}$無交集。
• 柯西面是柯西發展為${\displaystyle M}$的時間無關閉集。
• 度規如果可以展開成一層層柯西面，那它就是全局雙曲的。
• 時序破壞集（chronology violating set）：閉合類時曲線經過點組成的集合。
• 因果破壞集（casual violating set）：閉合類時曲線經過點組成的集合。
• 對於因果曲線${\displaystyle \gamma }$，其因果核（causal diamond）定義為${\displaystyle J^{+}(\gamma )\cap J^{-}(\gamma )}$（這裏我們將「曲線」寬泛地定義為點集）。換句話說，一個粒子的世界線${\displaystyle \gamma }$的因果核是${\displaystyle \gamma }$上同時在某點過去以及未來的事件集合。

性質

因果結構還存在以下性質^[4]

• ${\displaystyle x\in \,I^{-}(y)}$當且僅當${\displaystyle y\in I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• 「定義」（horismos）可以由零測地線全等推出。

還具有以下拓撲學性質：

• 對所有${\displaystyle x\in M}$，${\displaystyle I^{\pm }(x)}$是開集。
• 對所有${\displaystyle S\subset M}$，${\displaystyle I^{\pm }[S]}$是開集。
• 對所有${\displaystyle S\subset M}$，${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$。這裏${\displaystyle {\overline {S}}}$是${\displaystyle S}$的閉包。
• ${\displaystyle J^{\pm }[S]\subset {\overline {I^{\pm }[S]}}}$

共形幾何

兩個度規${\displaystyle \,g}$和${\displaystyle {\hat {g}}}$在對實函數${\displaystyle \Omega }$（共形因子）存在${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$時是共形相關的。^[5]

考察對類時（零或類空）切向量的定義，可以得到無論使用${\displaystyle \,g}$還是${\displaystyle {\hat {g}}}$時，它們不會發生改變。比如，切向量${\displaystyle X}$在使用度規${\displaystyle \,g}$時是類時的，也就是說${\displaystyle \,g(X,X)<0}$，那麼${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$。因此${\displaystyle X}$在使用度規${\displaystyle {\hat {g}}}$時也是類時的。

由此可以得到，一個勞侖茲流形的因果結構不受共形轉換的影響。

另見

• 物理主題

• 封閉類時曲線
• 潘洛斯圖

引注

1. Hawking & Israel 1979，第255頁
2. Penrose 1972，第15頁
3. Penrose 1972，第12頁
4. Penrose 1972，第13頁
5. Hawking & Ellis 1973，第42頁

參考文獻

• Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R., The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge: Cambridge University Press, 1973, ISBN 0-521-20016-4
• Hawking, S.W.; Israel, W., General Relativity, an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, 1979, ISBN 0-521-22285-0
• Penrose, R., Techniques of Differential Topology in Relativity, SIAM, 1972, ISBN 0898710057

延伸閱讀

• G. W. Gibbons; S. N. Solodukhin. The Geometry of Small Causal Diamonds. 2015. arXiv:hep-th/07030983  請檢查|arxiv=值 (幫助) |class=被忽略 (幫助). 引文使用過時參數version (幫助)
• S.W. Hawking; A.R. King; P.J. McCarthy. A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures. J. Math. Phys. 1976, 17 (2): 174－181 [2021-01-18]. （原始內容存檔於2013-01-13）.
• A.V. Levichev. Prescribing the conformal geometry of a lorentz manifold by means of its causal structure. Soviet Math. Dokl. 1987, 35: 452－455.
• D. Malament. The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime. J. Math. Phys. 1977, 18 (7): 1399－1404 [2021-01-18]. （原始內容存檔於2013-01-12）.
• A.A. Robb. A theory of time and space. Cambridge University Press. 1914.
• A.A. Robb. The absolute relations of time and space. Cambridge University Press. 1921.
• A.A. Robb. Geometry of Time and Space. Cambridge University Press. 1936.
• R.D. Sorkin; E. Woolgar. A Causal Order for Spacetimes with C^0 Lorentzian Metrics: Proof of Compactness of the Space of Causal Curves. 1999. arXiv:gr-qc/95080183  請檢查|arxiv=值 (幫助) |class=被忽略 (幫助). 引文使用過時參數version (幫助)

外部連結

• 圖靈機因果網絡（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（Wolfram 演示項目）
• 因果網絡（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（MathWorld）