共形映射

數學上，共形變換（英語：Conformal map）或稱保角變換，來自於流體力學和幾何學的概念，是一個保持角度不變的映射。

直角網格(頂部)和它在共形映射 f 下的像(底部)。可看出 f 把以 90°相交的成對的線映射成仍以 90°相交的成對曲線。

更正式的說，一個映射

${\displaystyle w=f(z)\,}$

稱為在 ${\displaystyle z_{0}\,}$ 共形(或者保角)，如果它保持穿過 ${\displaystyle z_{0}\,}$ 的曲線間的定向角度，以及它們的取向也就是說方向。共形變換保持了角度以及無窮小物體的形狀，但是不一定保持它們的尺寸。

共形的性質可以用坐標變換的導數矩陣雅可比矩陣的術語來表述。如果變換的雅可比矩陣處處都是一個純量乘以一個旋轉矩陣，則變換是共形的。

製圖

在測繪學中，一個共形變換投影是一個保持除有限點外所有點的角度不變的地圖投影。尺寸依賴於地點，但不依賴於方向。

其例子有麥卡托投影和極射投影。

複分析

共形映射很重要的一組例子來自複分析。若U是一個複平面C的開集，則一個函數

f : U → C

是共形的，若且唯若它在U上是一個全純函數，而且它的導數處處非零。若f是一個反全純函數（也就是全純函數的復共軛），它也保持角度，但是它會將定向反轉。

黎曼映射定理是複分析最深刻的定理之一，它表明任何C的單連通非空開子集上有一個到C中的開單位圓盤的雙射。

參看

• 共形反常
• 共形場論