等價類

在數學中，假設在一個集合${\displaystyle X}$上定義一個等價關係（用${\displaystyle \sim }$來表示），則${\displaystyle X}$中的某個元素${\displaystyle a}$的等價類就是在${\displaystyle X}$中等價於${\displaystyle a}$的所有元素所形成的子集:

${\displaystyle [a]=\{x\in X|x\sim a\}}$。

提示：此條目頁的主題不是等價關係。

等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造新集合。在${\displaystyle X}$中的給定等價關係${\displaystyle \sim }$的所有等價類的集合表示為${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$並叫做${\displaystyle X}$除以${\displaystyle \sim }$的商集。這種運算可以（實際上非常不正式的）被認為是輸入集合除以等價關係的活動，所以名字「商」和這種記法都是模仿的除法。商集類似於除法的一個方面是，如果${\displaystyle X}$是有限的並且等價類都是等勢的，則${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$的序是${\displaystyle X}$的序除以一個等價類的序的商。商集被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合${\displaystyle X}$。

對於任何等價關係，都有從${\displaystyle X}$到${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$的一個規範投影映射${\displaystyle \pi }$，給出為${\displaystyle \pi (x)=[x]}$。這個映射總是滿射的。在${\displaystyle X}$有某種額外結構的情況下，考慮保持這個結構的等價關係，接着稱這個結構是良好定義的，而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇的物件；從${\displaystyle a}$到${\displaystyle [a]}$的映射則是在這個範疇內的滿態射。參見同餘關係。

例子

• 如果${\displaystyle X}$是轎車的集合，而${\displaystyle \sim }$ 是「顏色相同」的等價類，則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。${\displaystyle X/\mathrm {\sim } }$ 自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
• 考慮在整數集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$上的「模${\displaystyle 2}$」 ﹝見同餘﹞等價關係: ${\displaystyle x\sim y}$當且僅當${\displaystyle x-y}$是偶數。這個關係精確的引發兩個等價類: ${\displaystyle [0]}$由所有偶數組成，${\displaystyle [1]}$由所有奇數組成。在這個關係下${\displaystyle [7],[9]}$和${\displaystyle [1]}$都表示${\displaystyle \mathbb {Z} /\mathrm {\sim } }$的同一個元素。
• 有理數可以構造為整數的有序對 ${\displaystyle (a,b)}$的等價類的集合，${\displaystyle b}$不能為零，這裏的等價關係定義為

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$當且僅當${\displaystyle ad=bc}$。

這裏的有序對 ${\displaystyle (a,b)}$的等價類可以被認同於有理數${\displaystyle a/b}$。

• 任何函數${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$定義在X上的等價關係，通過${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$ 當且僅當${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$。${\displaystyle x}$的等價類是在${\displaystyle X}$中被映射到${\displaystyle f(x)}$的所有元素的集合，就是說，類${\displaystyle [x]}$是${\displaystyle f(x)}$的逆像。這個等價關係叫做${\displaystyle f}$的核。
• 給定群${\displaystyle G}$和子群${\displaystyle H}$，我們可以定義在${\displaystyle G}$上的等價關係，通過${\displaystyle x\sim y}$當且僅當${\displaystyle xy^{-1}\in H}$。這個等價類叫做H在G中的右陪集；其中之一是${\displaystyle H}$自身。它們都有同樣數目的元素（在無限${\displaystyle H}$的情況下是勢）。如果${\displaystyle H}$是正規子群，則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
• 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
• 連續映射${\displaystyle f}$的同倫類是所有同倫於${\displaystyle f}$的所有映射的等價類。
• 在自然語言處理中，等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如，在句子「"GE股東將投票公司傑出的CEO Jack Welch的繼任者」。「GE」和「公司」是同義的，所以構成一個等價類。對「GE股東」和「Jack Welch」有單獨的等價類。

性質

因為等價關係的${\displaystyle a}$在${\displaystyle [a]}$中和任何兩個等價類要麼相等要麼不相交的性質。得出X的所有等價類的集合形成${\displaystyle X}$的劃分：所有${\displaystyle X}$的元素屬於一且唯一的等價類。反過來，${\displaystyle X}$的所有劃分也定義了在${\displaystyle X}$上等價關係。

它還得出等價關係的性質

${\displaystyle a\sim b}$當且僅當${\displaystyle [a]=[b]}$。

如果${\displaystyle \sim }$是在${\displaystyle X}$上的等價關係，而${\displaystyle P(x)}$是${\displaystyle x}$的元素的一個性質，使得只要${\displaystyle x\sim y,P(x)}$為真如果${\displaystyle P(y)}$為真，則性質${\displaystyle P}$被稱為良好定義的或在關係${\displaystyle \sim }$下「類恆定」的。常見特殊情況出現在${\displaystyle f}$是從${\displaystyle X}$到另一個集合${\displaystyle Y}$的時候；如果${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$蘊涵${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$則${\displaystyle f}$被稱為在${\displaystyle \sim }$下恆定的類，或簡單稱為在${\displaystyle \sim }$下恆定。這出現在有限群的特徵理論中。對函數${\displaystyle f}$的後者情況可以被表達為交換三角關係．參見不變量。

參見

• 等價關係