弧長

曲線的弧長也稱曲線的長度，是曲線的特徵之一。不是所有的曲線都能定義長度，能夠定義長度的曲線稱為可求長曲線。最早研究的曲線弧長是圓弧的長度。為了計算圓周的長度，數學家發明了用直線段近似的方法，並應用到其他的曲線上。微積分出現後，數學家開始用積分的方式計算曲線的弧長，得出了許多特殊曲線的弧長的精確表達式。

現實中，求曲線的長度，可以將它拉直後測量，數學中則需要更複雜的手段。

一般方法

選取曲線上的點，連成折線，折線的長度近似於曲線的弧長。

計算平面上一段曲線的弧長，最早也是最直接的方法是用一些直線段來作出和曲線相似的形狀，以直線段的長度代替曲線的弧長。具體的方法是在曲線上選一些點，然後將這些點用線段連起來，得到一條折線。這些線段長度的和，也就是折線的長度，便近似於曲線的弧長。選取的點越密集越均勻，折線的長度就越接近曲線的弧長。但有時候折線的長度可能可以任意大，甚至趨向無限大。這樣的曲線無法定義長度。但對一般的光滑曲線來說，當相鄰的點之間的距離都趨於0的時候，折線的長度會趨於一個極限，也就是曲線的弧長。

定義

設${\displaystyle C}$是歐幾里德空間${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{n}}$（或某個有限維度量空間）中的一條曲線。它是某個從實數區間映射到S的連續函數${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow S}$的圖像。考慮區間${\displaystyle [a,b]}$的一個分割：${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b}$。${\displaystyle f(t_{0}),f(t_{1}),\ldots ,f(t_{n-1}),f(t_{n})}$是曲線${\displaystyle C}$上的${\displaystyle n+1}$個點。將${\displaystyle f(t_{i})}$和${\displaystyle f(t_{i+1})}$兩點之間的距離記為${\displaystyle d\left(f(t_{i}),f(t_{i+1})\right)}$，這也是從${\displaystyle f(t_{i})}$連到${\displaystyle f(t_{i+1})}$的線段的長度。而曲線${\displaystyle C}$的弧長${\displaystyle L(C)}$定義為：

${\displaystyle L(C)=\sup _{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=b}\sum _{i=0}^{n-1}d(f(t_{i}),f(t_{i+1}))}$

也就是說，曲線的弧長是所有從曲線中選取有限個點連起來的折線長度的最小上界。廣義的曲線弧長也包括這個最小上界不存在的情況，這時候定義曲線的弧長是無窮大。曲線的弧長有限的時候，稱之為可求長曲線，否之稱為不可求長曲線。以上的定義不要求函數${\displaystyle f}$可微，度量空間也沒有定義微分的結構。

將曲線用函數的形式表達稱為曲線的參數化，用參數（函數的自變量）來刻畫曲線。對給定的曲線，參數化的方法不止一種。但只要參數化的函數是連續的，那麼兩種不同的參數化方式之間就可以用一個連續單調的函數來轉換。所以參數化的方式不會影響定義曲線的弧長。曲線的弧長是它的內稟屬性，不依賴於參數化的方式。

用積分計算弧長

假設曲線${\displaystyle C}$可以用連續可微函數${\displaystyle r\;:[a,b]\;\rightarrow \;S}$進行參數化，那麼在進行分割${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b}$後，每一段線段${\displaystyle \Delta r_{i}=\left(r(t_{i}),r(t_{i+1})\right)}$在間隔足夠小的時候可以近似為${\displaystyle \Delta r_{i}\approx r'(t_{i})\Delta t_{i}}$。所以折線長度就是：

${\displaystyle L_{T}=\sum _{i=0}^{n-1}\|\Delta r_{i}\|=\sum _{i=0}^{n-1}\|r'(t_{i})\|\Delta t_{i}.}$

當所有的${\displaystyle \Delta t_{i}}$都趨於0時，就能得到曲線的長度s：

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}\|r'(t)\|dt.}$

假設平面曲線${\displaystyle C}$是用函數${\displaystyle X(t)}$和${\displaystyle Y(t)}$進行參數化。考慮曲線上很短的一段弧，它的長度為${\displaystyle ds}$，根據畢氏定理，在給定的直角坐標系中，有：那麼${\displaystyle ds}$和兩者的關係是：

${\displaystyle ds^{2}=dX^{2}+dY^{2}.}$

${\displaystyle ds}$足夠接近0的時候，${\displaystyle dx}$和${\displaystyle dy}$也足夠接近0. 所以在給定的時刻${\displaystyle t}$，在${\displaystyle \left(X(t),Y(t)\right)}$附近有：

${\displaystyle ds={\sqrt {\left({dX(t) \over dt}\right)^{2}+\left({dY(t) \over dt}\right)^{2}}}dt={\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}}}\,dt.}$

對上式兩端分別積分，就得到：

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}}}\,dt.}$

三維空間中，假設曲線${\displaystyle C}$是用函數${\displaystyle X(t)}$、${\displaystyle Y(t)}$和${\displaystyle Z(t)}$進行參數化，則用類似的方式可以推出，

${\displaystyle s=\int _{0}^{1}{\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}+Z'(t)^{2}}}\,dt.}$

假設平面曲線${\displaystyle C}$是函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$的圖像，並且函數${\displaystyle f}$是連續可微的函數：${\displaystyle f'(t)}$存在並且也是連續的函數。那麼這等價於設${\displaystyle X(t)=t}$，${\displaystyle Y(t)=f(t)}$，所以

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {X'(t)^{2}+Y'(t)^{2}}}\,dt.=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}$

假設曲線是以極坐標的方式進行參數化：${\displaystyle r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$，那麼${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+(rd\theta )^{2}.}$ 弧長等於：

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+({dr \over d\theta })^{2}}}\,d\theta .}$

通過積分學的知識可以知道，對大部分的${\displaystyle f}$或${\displaystyle X(t)}$和${\displaystyle Y(t)}$，上述的積分式沒有初等的解析表達式，所以大部分的曲線弧長是無法用顯式計算的，只能通過數值計算求出。能用顯式表達弧長的曲線除了直線和圓以外還有懸鏈線、擺線、等角螺線、拋物線、半立方拋物線等等。橢圓的弧長無法用顯式計算，數學家們因此發展出橢圓積分和橢圓函數。

例子

半三次曲線：點(1,0)到(4,9)的曲線段的弧長

圓的弧長

圓的弧長與角度（弧度）成正比。設圓的半徑為r，那麼弧度${\displaystyle \alpha }$對應的圓弧的弧長是${\displaystyle r\alpha }$；角度θ對應的圓弧的弧長是${\displaystyle {\frac {r\pi \theta }{180}}}$。整個圓周的周長是：${\displaystyle C=2\pi r}$.特別的，當圓心角使用弧度制單位時，弧長=弧度制圓心角×半徑。

半立方拋物線的弧長

設半立方拋物線的方程為：${\displaystyle y^{2}=3(x-1)^{3}}$，要求點${\displaystyle (1,0)}$到${\displaystyle (4,9)}$的曲線段的弧長，可以用積分計算。這一段上的${\displaystyle y}$大於等於0，即${\displaystyle y={\sqrt {3}}(x-1)^{\frac {3}{2}}}$，而求導可得：

${\displaystyle 2yy\prime =9(x-1)^{2}}$

所以

${\displaystyle (y\prime )^{2}=\left({\frac {9(x-1)^{2}}{2y}}\right)^{2}=\left({\frac {9(x-1)^{2}}{2{\sqrt {3}}(x-1)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{2}=\left({\frac {3{\sqrt {3}}(x-1)^{\frac {1}{2}}}{2}}\right)^{2}={\frac {27(x-1)}{4}}.}$

弧長：

${\displaystyle s=\int _{1}^{4}{\sqrt {1+(y\prime )^{2}}}\,dx=\int _{1}^{4}{\sqrt {1+{\frac {27(x-1)}{4}}}}\,dx={\frac {85{\sqrt {85}}-8}{81}}}$

弧長無限大的曲線

科赫雪花曲線

有些曲線本身有界（可以被長和寬都有限的長方形覆蓋），但其弧長是無限大。一個著名的例子是科赫雪花曲線（見右圖）。這個曲線是由一個線段通過重複一系列步驟的改變直到無限而構成的。可以計算，每一步改變後，曲線的弧長都會變成上一步時的三分之四，所以假設原線段長度為a，則第n步之後，弧長變成：a(4/3)ⁿ，當n趨於正無窮大時，曲線弧長也趨於無限大。

參見

• 路徑積分
• 曲率