半立方拋物線

半立方拋物線（cuspidal cubic）是一個參數式如下的平面代數曲線^[1]

${\displaystyle x=t^{2}\,}$

${\displaystyle y=at^{3}.\,}$

不同a值的半立方拋物線

其隱方程（英語：implicit curve）為

${\displaystyle y^{2}-a^{2}x^{3}=0,}$

可以求得y得到以下的式子^[1]

${\displaystyle y=\pm ax^{3 \over 2}.}$

此三次平面曲線在原點有一尖點。

若令u = at, X = a²x，且令Y = a³y，可得

${\displaystyle X=u^{2}}$

${\displaystyle Y=u^{3}.}$

這意味着，針對任意的實數a，此曲線都可以位似變換（英語：homothetic transformation）到a = 1的曲線，也就是說，不同的a只對應不同的單位長度。

性質

有一種特殊的半立方拋物線，是拋物線的漸屈線^[2]，其方程式為

${\displaystyle x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.}$

若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開，可以證明也是半立方拋物線^[3]：

${\displaystyle x=3(t^{2}-3)=3t^{2}-9\,}$

${\displaystyle y=t(t^{2}-3)=t^{3}-3t.\,}$

半立方拋物線的另一個特性是其為等時曲線（英語：isochrone curve），也就是說一物體在其曲線上，因重力而往下移動，在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關，也是物體在不同的位置因重力同時往下移動，會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關，物體沿此軌跡，會從起點以最快速度到達終點^[4]。

半立方拋物線等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·萊布尼茨在1687年提出的一個挑戰，在1690年提出此曲線的特性^[4]。

參考資料

1. Pickover, Clifford A., The Length of Neile's Semicubical Parabola, The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc.: 148, 2009, ISBN 9781402757969.
2. Yoder, Joella G., Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge University Press: 88, 2004 [2016-04-06], ISBN 9780521524810, （原始內容存檔於2017-08-20）.
3. Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
4. Carnahan, Walter H., Time Curves, School Science and Mathematics, 1947, 47 (6): 507–511, doi:10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x.

外部連結

• 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Neile's Semi-cubical Parabola, MacTutor數學史檔案 （英語）