可均群

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，而且G在函數上的群作用，不會改變所取得的平均。

緣起

巴拿赫－塔斯基悖論

在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基後來的研究，發現了維度不小於3的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中，任意兩個有內點的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。因此3維以上${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。

馮紐曼研究他們的證明，發現問題關鍵不是在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的結構，而是在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的旋轉群上。3維以上的${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，旋轉群沒有這樣的子群。

於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把對象轉到群上面。新的問題是：在一個群G上，是否存在有限可加的概率測度${\displaystyle \mu }$，是G-不變的，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何${\displaystyle E\subset G}$和任何${\displaystyle g\in G}$，${\displaystyle \mu (gE)=\mu (E)}$。這樣的概率測度稱為不變平均。（函數以這測度積分，像是取加權平均。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。^[1][2]

外文名稱

可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，法文名稱groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉諧音玩的文字遊戲，因為amenable的英式讀音，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

定義

設G為局部緊群。G上存在左哈爾測度${\displaystyle \mu }$。考慮在測度空間${\displaystyle (G,\mu )}$上的複值本質有界函數空間${\displaystyle L^{\infty }(G)}$。

線性泛函${\displaystyle \Lambda :L^{\infty }(G)\to \mathbb {C} }$稱為平均，如果${\displaystyle \Lambda }$的範數是1，並且是非負的：若實值函數${\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}$適合${\displaystyle f\geq 0}$，則${\displaystyle \Lambda (f)\geq 0}$。

如果${\displaystyle \Lambda }$是一個平均，則有${\displaystyle \Lambda (1_{G})=1}$，其中${\displaystyle 1_{G}}$是G的特徵函數。而且對任何實值函數${\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}$，

${\displaystyle \operatorname {*} {ess\ inf}_{x\in G}f(x)\leq \Lambda (f)\leq \operatorname {*} {ess\ sup}_{x\in G}f}$

其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。

一個平均是左不變的，如果對任何${\displaystyle s\in G}$，${\displaystyle f\in L^{\infty }(G)}$，在左作用${\displaystyle s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)}$下，都有${\displaystyle \Lambda (s\cdot f)=\Lambda (f)}$。

局部緊群G如果有一個左不變平均，就稱為可均群。

可均群有很多等價定義。^[3]其中一個是Følner條件：^[4]

對任何${\displaystyle \epsilon >0}$，任何緊子集${\displaystyle C\subset G}$，都存在一個緊子集${\displaystyle K\subset G}$，${\displaystyle 0<\mu (K)<\infty }$，使得對所有${\displaystyle x\in C}$都符合不等式

${\displaystyle \mu (xK\triangle K)/\mu (K)<\epsilon }$

此處${\displaystyle \triangle }$是對稱差。

如果G是可數無限的離散群，Følner條件等價於： G中存在有限子集${\displaystyle S_{n}}$，使得對任何${\displaystyle g\in G}$，

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|gS_{n}\triangle S_{n}\right|}{\left|S_{n}\right|}}=0}$

這樣的${\displaystyle (S_{n})}$稱為Følner序列。

性質

可均群的閉子群都是可均的。

若H是可均群G的閉正規子群，那麼${\displaystyle G/H}$是可均群。

若H是局部緊群G的閉正規子群，而且H和${\displaystyle G/H}$都是可均群，那麼G也是可均群。

設G是局部緊群，I是有向集合，${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$是G的閉可均子群組成的網，對任何${\displaystyle i\leq j}$，有${\displaystyle H_{i}\subset H_{j}}$。那麼${\displaystyle H={\overline {\cup _{i\in I}H_{i}}}}$是G的可均子群。

例子

有限群是可均群。更一般地，緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。^[5]

整數群${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$和實數群${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$是可均群，一個在${\displaystyle \mathbb {Z} }$或${\displaystyle \mathbb {R} }$中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。

局部緊的阿貝爾群是可均群。因此，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，則有導出列

${\displaystyle G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}}$

其中${\displaystyle G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]}$。每個${\displaystyle G^{(i)}/G^{(i+1)}}$都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質，得出G是可均群。

一個有限生成群G是次指數增長的，如果G中存在一個有限生成集合S，有對稱性${\displaystyle S=S^{-1}}$，使得^[6]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}}=1}$

次指數增長的有限生成群是可均群。

證明

從定義知對每個${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，都存在${\displaystyle n_{i}}$使得

${\displaystyle {\frac {\left|S^{n_{i}+1}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<1+{\frac {1}{i}}}$

對每個${\displaystyle a\in S}$，有${\displaystyle S^{n_{i}},aS^{n_{i}}\subset S^{n_{i}+1}}$。對任何${\displaystyle g\in G}$都有${\displaystyle \left|gS^{n_{i}}\right|=\left|S^{n_{i}}\right|}$。於是

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left|aS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|aS^{n_{i}}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|S^{n_{i}+1}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}+1}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\=&(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)+(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|aS^{n_{i}}\right|)\\=&2(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}}$

每個${\displaystyle g\in G}$都可寫成${\displaystyle g=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}}$。設${\displaystyle g_{0}=e}$, ${\displaystyle g_{j}=g_{j-1}a_{j}}$。用集合關係式${\displaystyle A\triangle B\subset (A\triangle C)\cup (C\triangle B)}$，得出

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|\bigcup _{j=1}^{m}\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &\sum _{j=1}^{m}\left|\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\=&\sum _{j=1}^{m}\left|g_{j-1}\left(S^{n_{i}}\triangle a_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &2m(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}}$

因此

${\displaystyle {\frac {\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<{\frac {2m}{i}}}$

所以${\displaystyle (S^{n_{i}})}$是一個Følner序列，故G是可均群。

設${\displaystyle G_{1}}$和${\displaystyle G_{2}}$是有限生成群，而${\displaystyle G_{2}}$是可均的。若${\displaystyle G_{1}}$擬等距同構於${\displaystyle G_{2}}$，那麼${\displaystyle G_{1}}$也是可均群。^[7]

秩2的自由群${\displaystyle F_{2}}$不是可均群。

證明

設a,b是${\displaystyle F_{2}}$的生成元。${\displaystyle F_{2}}$的元素都可以用a,b寫成字。假設${\displaystyle F_{2}}$有不變平均M。考慮${\displaystyle F_{2}}$的一個子集A，A包含所有簡約字以${\displaystyle a^{n}}$開首的元素。（n是某個不等於0的整數。）那麼A, bA, ${\displaystyle b^{2}A}$是${\displaystyle F_{2}}$的不相交子集，所以

${\displaystyle {\begin{aligned}3M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{bA})+M(1_{b^{2}A})\\&\leq M(1_{F_{2}})=1\end{aligned}}}$

另一方面，${\displaystyle A\cup aA=F_{2}}$，所以

${\displaystyle {\begin{aligned}2M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{aA})\\&\geq M(1_{F_{2}})\end{aligned}}}$

這兩條不等式互相矛盾，故${\displaystyle F_{2}}$上不存在不變平均，即${\displaystyle F_{2}}$是非可均的。

所以一個群若包含${\displaystyle F_{2}}$為離散子群，則不是可均群。

如把n維空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的旋轉群SO(n)看成離散群，則n不小於3時SO(n)包含${\displaystyle F_{2}}$為（離散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，在n等於2時不可行的原因。不過若用SO(n)原來的拓撲，則對所有n，SO(n)都是緊群，所以都是可均群。

一個殆連通的局部緊群G是可均群，當且僅當G不包含${\displaystyle F_{2}}$為離散子群。^[8]（設${\displaystyle G_{e}}$是G的單位連通區。若${\displaystyle G/G_{e}}$緊緻，則G稱為殆連通群。）

馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了塔斯基魔群是非可均的。G是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的素數p，G中所有真子群除了平凡子群外，都是p階循環群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。

腳註

1. Pier，Ch. 1 §1.
2. Paterson，Ch. 0.
3. Pier，Ch. 2.
4. Paterson，4.10.
5. Pier，Prop. 12.1.
6. Paterson，6.41.
7. Ghys, de la Harp (éd.)，Ch. 1 Exercice 24.
8. Paterson，3.8.

參考

• Pier, Jean-Paul. Amenable locally compact groups. Wiley. 1984.
• Paterson, Alan. Amenability. American Mathematical Society. 1988.
• É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (編). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.