埃爾米特函數

在數學分析的領域中，埃爾米特函數是當一個函數的共軛複數與將原函數的自變量變號後的值相等的復變函數。對於所有在 ${\displaystyle f}$ 定義域內的所有 ${\displaystyle x}$ 滿足:

${\displaystyle f(-x)={\overline {f(x)}}}$

（其中上橫線表示複共軛）

這個定義也可以擴展到兩個或多個變量的函數，例如，對於兩個變量的函數 ${\displaystyle f}$，當 ${\displaystyle f}$ 定義域內的所有數對 ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ 滿足

${\displaystyle f(-x_{1},-x_{2})={\overline {f(x_{1},x_{2})}}}$

時，它為埃爾米特函數。

根據這個定義,可得出一個很顯然的推論:當且僅當

• ${\displaystyle f}$ 的實部為偶函數，並且
• ${\displaystyle f}$ 的虛部為奇函數

時，${\displaystyle f}$ 是埃爾米特函數。

動機

埃爾米特函數經常出現在數學、物理和信號處理中。根據傅立葉轉換的基本性質，可以得出以下兩條敘述：

• 實函數的傅立葉變換為埃爾米特函數
• 埃爾米特函數的傅立葉變換為實函數

由於實信號的傅立葉轉換可以保證是埃爾米特函數，因而可以將埃爾米特奇/偶對稱性用於壓縮。這使得經過離散傅立葉轉換的信號（為一般複數）可以存儲在與原實數信號相同的空間中。

• 若 f 為埃爾米特函數，則 ${\displaystyle f\star g=f*g}$.

其中 ${\displaystyle \star }$ 是互相關，而 ${\displaystyle *}$ 是卷積。

• 若 f 與 g 都是埃爾米特函數，則 ${\displaystyle f\star g=g\star f}$。

參見

• 奇函數與偶函數