博赫納積分

在數學中，以薩洛蒙·博赫納命名的博赫納積分（英語：Bochner integral）作為簡單函數積分的極限，將勒貝格積分的定義推廣到在巴拿赫空間中取值的函數。

定義

令(X, Σ, μ)為測度空間，B為巴拿赫空間。博赫納積分以與勒貝格積分相同的方式定義。首先，簡單函數是任意如下形式的有限和

${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}}$

其中E是_iσ-代數Σ的不相交元素，b_i是B的不同元素，而χ_E是E的指示函數。如果μ(E_i)每當b_i ≠ 0時有限，則簡單函數是可積的，積分如下定義

${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$

與普通勒貝格積分完全相同。

可測量函數ƒ:X→B是博赫納可積的，如果存在一列可積的簡單函數s_n滿足

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}\,d\mu =0}$，

其中左邊的積分是普通勒貝格積分。

在這種情形下，博赫納積分定義為

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu }$。

可以證明，函數是博赫納可積的若且唯若它位於博赫納空間 ${\displaystyle L^{1}}$。

參見

• 博赫納空間（英語：Bochner space）
• 佩蒂斯積分（英語：Pettis integral）
• 向量測度

參考文獻

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