單參數群

在數學中，一個單參數群（one-parameter group）或稱單參數子群（one-parameter subgroup）通常表示從實數 R（作為加法群）到另一個拓撲群 G 的一個連續群同態

φ : R → G.

這意味着它嚴格說來其實不是一個群；如果 φ 是單射，則其像 φ(R) 是 G 的一個同構於加法群 R 的子群。這就是說，我們只知道

φ (s + t) = φ(s)φ(t)

其中 s, t 是群在 G 中的參數。我們可能有

φ(s) = e, G 中的單位元，

對某個 s ≠ 0 成立。譬如 G 是單位圓是這可能發生，且

φ(s) = e^is.

在這種情形，φ 的核由 2π 乘以整數組成。

一個單參數群在一個集合上的作用稱為流。

一個技術複雜性在於 φ(R) 作為 G 的子空間的拓撲可能比 R 上的要粗糙；這在 φ 是單射時可能發生。譬如考慮當 G 是一個環面 T，φ 是沿着一個無理斜率纏繞的直線。

所以一個單參數群或單參數子群需區別於一個群或一個子群自身，有三個原因：

1. 它有一個確定的參數化，
2. 群同態可能不是單射，
3. 誘導拓撲可能不是實線上的標準拓撲。

這樣的單參數群在李群理論具有基本重要性，其中相伴的李代數中每一個元素定義了這樣一個同態，指數映射。在矩陣群的情形，它由矩陣指數給出。

另一個重要情形出現於泛函分析，G 是一個希爾伯特空間中的酉算子。參見單參數酉群的斯通定理。

鮑爾·科恩（Paul Cohn）在其1957年專題論文《李群》中58頁，給出如下定理：

任何連通一維李群解析同構於實數加法群 ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ 或實數模 1 加法群 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$。特別地，任何一位李群局部同構於 R。

物理

在物理中，單參數子群描述了動力系統。^[1] 而且，只要一個物理定律系統滿足一個單參數群可微對稱，則根據諾特定理有一個守恆量。

在狹義相對論裏，快度參數可以用來幫助比較或區別幾個不同的慣性參考系。在相對論的運動學理論和動力學理論裏，快度替代了速度的地位。由於快度是無界的，快度的單參數群是非緊緻的。快度的概念是由 (Alfred Robb) 於 1911 年提出，是十九世紀雙曲正規化四元量 (hyperbolic versor) 概念的重新包裝。James Cockle 、威廉·金頓·克利福德 、Alexander Macfarlane ，這幾位數學物理學家，都曾經在他們的作品中，使用過一個等價的笛卡兒平面映射。這映射的算子是個雙曲複數：

${\displaystyle \cosh a+r\sinh a\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle a\,\!}$ 是雙曲正規化四元量，${\displaystyle rr=+1\,\!}$ 。

請注意，${\displaystyle r\,\!}$ 與虛數單位類似。但是，${\displaystyle r\,\!}$ 不是虛數單位。並且， ${\displaystyle r\neq \pm 1\,\!}$ 。

參見

• 積分曲線
• 單參數半群（英語：One-parameter semigroup）
• 諾特定理

參考文獻

1. Zeidler, E. Applied Functional Analysis: Main Principles and Their Applications. Springer-Verlag, 1995.