五邊形數定理

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數 $\phi (q)$ 展開式的特性^[1] ^[2]。歐拉函數的展開式如下：

\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k-1)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{\frac {k(3k\pm 1)}{2}}

亦即

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots .

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。

若將上式視為冪級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

{\frac {1}{\phi (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)x^{k}

其中 $p(k)$ 為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理，可以得到

(1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots )(1+p(1)x+p(2)x^{2}+p(3)x^{3}+\cdots )=1

考慮 $x^{n}$ 項的系數，在 n>0 時，等式右側的系數均為0，比較等式二側的系數，可得

p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+\cdots =0

因此可得到分割函數p(n)的遞歸式

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

以n=10為例

p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42

[1]
原文為Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti $(1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})$ etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55.
[2]
英文翻譯版為Bell, J在2004-12-4翻譯的《The Expansion of the Infinite Product $(1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x^{6})$ etc. into a Single Series》，http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.